loading专题十七 动力学中的弹簧模型问题
弹簧问题是高中物理中常见的题型之一，并且综合性强，是个难点。分析这类题型对训练学生的分析综合能力很有好处。
1、在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为\轻弹簧\。轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒。
2、在含有弹簧的静力学问题中,当弹簧所处的状态没有明确给出时,必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性, 注意弹簧问题的多解性,以防以偏概全.
3、因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.
4、弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，物体在弹簧弹力（通常还要考虑物体的重力）作用下做变加速运动,这类问题的动态情景分析是解答这类问题的关键.
考点一. 正确理解弹簧的弹力
例题1. 如图1所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上。②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用。③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动。④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ D ）
①
② 图1 ③ ④ B. l4?l3
C. l1?l3
D. l2?l4
A. l2?l1
解析：当弹簧处于静止（或匀速运动）时，弹簧两端受力大小相等，产生的弹力也相等，用其中任意一端产生的弹力代入胡克定律即可求形变。当弹簧处于加速运动状态时，以弹簧为研究对象，由于其质量为零，无论加速度a为多少，仍然可以得到弹簧两端受力大小相等。由于弹簧弹力F弹与施加在弹簧上的外力F是作用力与反作用的关系，因此，弹簧的弹力也处处相等，与静止情况没有区别。在题目所述四种情况中，由于弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用，且弹簧质量都为零，根据作用力与反作用力关系，弹簧产生的弹力大小皆为F，又由四个弹簧完全相同，根据胡克定律，它们的伸长量皆相等，所以正确选项为D。
练习1-1：如图所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F1、F2，且F1＞F2，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 F1 ．
练习1-2：如图所示，在光滑水平面上有两个质量分别为m1和m2的物体A、B，m1>m2，A、B间水平连接着一轻质弹簧测力计．若用大小为F的水平力向右拉B，稳定后B的加速度大小为a1，弹簧测力计示数为F1；如果改用大小为F的水平力向左拉A，稳定后A的加速度大小为a2，弹簧测力计示数为F2．则以下关系式正确的是（ A ）
A．a1= a2， F1> F2 B．a1= a2， F1< F2
C．a1< a2， F1= F2 D．a1> a2， F1> F2
1
练习1-3：如图14所示，一质量不计的弹簧原长为10 cm，一端固定于质量为m＝2 kg的物体上，另一端施一水平拉力F.(g＝10 m/s2)(1)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.2，当弹簧拉长12 cm时，物体恰好匀速运动，弹簧的劲度系数多大？
(2)若将弹簧拉长11 cm时，物体所受到的摩擦力大小为多少？
(3)若将弹簧拉长13 cm时，物体所受的摩擦力大小为多少？(设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等) 答案 (1)200 N/m (2)2 N (3)4 N 解析 (1)物体匀速前进时，k(x－x0)＝μmg μmg0.2×2×10则k＝＝＝200 N/m
x－x00.12－0.10(2)F1＝k(x1－x0)＝200×(0.11－0.10)＝2 N
最大静摩擦力可看做等于滑动摩擦力Ffm＝0.2×2×10 N＝4 N 故物体没动，所受静摩擦力Ff1＝F1＝2 N.
(3)弹簧弹力F2＝k(x2－x0)＝200×(0.13－0.10) N＝6 N.
物体将加速前进，此时所受到的滑动摩擦力为Ff2＝μFN＝μmg＝0.2×2×10 N＝4 N.
考点二. 双弹簧系统
弹簧的串联，并联，混搭；三是要注意弹簧问题的多解性.
例题2. （2004年苏州调研）用如图2所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0kg的滑块，滑块可无摩擦的滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后，汽车静止时，传感器a、b的示数均为10N（取g?10m/s）
2
图2
（1）若传感器a的示数为14N、b的示数为6.0N，求此时汽车的加速度大小和方向。 （2）当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数为零。 解析：（1）F1?F2?ma1，a1?F1?F2?4.0m/s2 a1的方向向右或向前。 m （2）根据题意可知，当左侧弹簧弹力F1'?0时，右侧弹簧的弹力F2'?20N F2'?ma2 代入数据得a2?F2'?10m/s2，方向向左或向后 m2
练习2-1：如图所示,a、b、c为三个物块,M、N为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（AD ）
A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态 B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态 C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态 D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状
练习2-2：如图所示,原长分别为L1和L2,劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上,两弹簧之间有一质量为m1的物体,最下端挂着质量为m2的另一物体,整个装置处于静止状态. (1)求这时两弹簧的总长.
(2)若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起,直到两弹簧的总长度等
K1 于两弹簧的原长之和,求这时平板对物体m2的支持力大小. m1 解析:(1)设上面弹簧的伸长量为Δx1,下面弹簧的伸长量为Δx2,由物体的平衡及胡克定律得,k1Δx1=(m1+m2)g,
K2 Δx1=,k2Δx2=m2g,Δx2=所以总长为L=L1+L2+Δx1+Δx2=L1+L2++.
m2 (2)要使两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和,必须是上面弹簧伸长Δx,下面弹簧缩短Δx.
对m2:N=k2Δx+m2g 对m1:m1g=k1Δx+k2Δx N=m2g+m1g.
答案:(1)L1+L2++ (2)m2g+m1g
C A θ a b
练习2-3：如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧B的两端分别与固定斜面上的挡板及物体A相连，A的质量为m，光滑斜面倾角为θ．用轻绳跨过定滑轮将物体A与另一根劲度系数为k2的轻质弹簧C连接．当弹簧C处在水平位置且未发生形变时，其右端点位于a位置．现将弹簧C的右端点用力沿水平方向缓慢拉到b位置时，弹簧B对物体A的拉力大小恰好等于A的重力．求：
⑴当弹簧C处在水平位置且未发生形变时，弹簧B的形变量大小； ⑵在将弹簧的右端由a缓慢拉到b的过程中，物体A移动的距离； ⑶ab间的距离．
16．解：⑴当弹簧C未发生形变时弹簧B处于压缩状态，设弹簧B对于物体A而言的压缩量为x0，根据平衡条件和胡克定律有：
k1x0?mgsinθ
B
(2分) (2分)
解得：x0?mgsinθ k1⑵当弹簧C的右端点沿水平缓慢拉到b位置时，因弹簧B对物体A的拉力大小恰好等于A的重力，说明弹簧B处于伸长状态，且伸长量为：
x1?mg k1 (2分)
3
所以物体A上升的高度为：h?x0?x1?⑶绳中张力为：FT?mgsinθ?mg 弹簧C的伸长量为：x2?mg(sinθ?1)
k1
(2分) (1分) (2分) (2分)
FTmg(sinθ?1) ?k2k2则ab间的距离为：Lab?h?x2?mg(sinθ?1)(11?) k1k2考点三 瞬时性问题
绳与弹簧产生力的区别
①绳(或接触面)：认为是一种不发生明显形变就可产生弹力的物体，若剪断（或脱离)后，其弹力立即消失，不需要形变恢复时间，一般题目中所给的细线和接触面在不加特殊说明时，均可按此模型处理。 ②弹簧(或橡皮绳)：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成不变。但当弹簧的一端不与有质量的物体连接时,轻弹簧的形变也不需要时间,弹力也可以发生突变（因轻弹簧的质量为零,其加速度为无穷大）
例题3、如图2（a）所示，一质量为m的物体系于名为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断， （1）求剪断瞬时物体的加速度。
（2）若将图2(a)中的细线L1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图2(b)所示，其他条件不变，求将L2剪断瞬间物体的加速度
L1
L1 θ θ L2 L2
图2(a)
图2(b)
练习3-1：细绳拴一个质量为m的小球,小球用固定在墙上的水平弹簧支撑,小球与弹簧不粘连,平衡时细绳与竖直方向的夹角为53°,如图所示.(已知cos 53°=0.6,sin 53°
=0.8)以下说法正确的是( )
A.小球静止时弹簧的弹力大小为3mg/5 B.小球静止时细绳的拉力大小为3mg/5 C.细线烧断瞬间小球的加速度立即为g D.细线烧断瞬间小球的加速度立即为5g/3
练习3-2：如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块P、Q,它们的质量均为2kg,均处于静止状态.若突然将一个大小为10N、方向竖直向下的力施加在物块P上,则此瞬间,P对Q压力的大小为（g取10m/s2）（ B） A.5N B.15N C.25N D.35N.
练习3-3：如图所示,物块B和C分别连接在轻弹簧的两端,将其静置于吊篮A的水平底板上,已知A、B、C三者质量相等且为m.则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间,吊篮A、物块B和C的瞬时加速度分别为（ C）
A. g、g、g B.g、g、0 C.1.5g、1.5g、0 D.g、2g、0
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