loading新数学《空间向量与立体几何》高考知识点
一、选择题
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M， N分别为棱C1D1,CC1的中点，以下四个结论：①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A．1 【答案】C 【解析】 【分析】
B．2 C．3 D．4
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】
①：CC1与DM是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM、BN平行，又AD、BC平行且AM?AD?A,BN?BC?B，所以平面
BNCP平面ADM，明显不正确，故错误；
③：BN、MB1不共面，所以是异面直线，故正确； ④：AM、DD1不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．
3 4B．
7 8C．
15 16D．
23 24【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A?BCDE，
该几何体的体积为1??故选B
11?1?17??1???1?? 32?2?28点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
AB3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存
在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 【答案】A 【解析】 【分析】
B．3 C．1+3 D．2
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就 是最小值． 【详解】
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，
Q|AB|?|AD|?3，|AA1|?1，?tan?AA1B?3?3,??AA1B?600．
1ooo所以?MA1D1=90+60=150
?MD1?A1D12?A1M2?2A1D1?A1Mcos?MA1D1?1?3?2?2?3?(?3)?7 2
故选A． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
4．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面．．
A1B1C1D1上，且AP?平面MBD1.线段AP长度的取值范围为( )
A．?1,2?
??【答案】D 【解析】 【分析】
?B．??1,3?
?3?,2? C．?2???6?,2? D．?2??以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，设P?x,y,1?，M?0,1,t?，由AP??x?t+1平面MBD1，可得?，然后用空间两点间的距离公式求解即可.
y?1?t?【详解】
以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，
则A?1,0,0?,B?1,1,0?,M?0,1,t?,D1?0,0,1?，P?x,y,1?.
uuuruuuuruuuurAP??x?1,y,1?,BD1???1,?1,1?,BM???1,0,t?，t??0,1?
uuuuruuuruuuuruuur由AP?平面MBD1，则BM?AP?0且BD1?AP?0
所以1?x?t?0且1?x?y?1?0得x?t+1，y?1?t.
uuur所以AP?1?3t??x?1??y?1?2???? ?2?2222uuuruuur16?2， 当t?时，AP，当t?0或t?1时，AP?maxmin22r6uuu所以?AP?2 2故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
5．设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β B．若α⊥β，n∥α，则n⊥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】
由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：
在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n?β，故A错误； 在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n?β，故B错误； 在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误； 在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β， ∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
6．如图，棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（ ）
A．
1 2B．
2 4C．
2 2D．
3 2【答案】B 【解析】 【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明A1D?平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量
uuuur为：DA1，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
11O(,,1),D1(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1) 22uuuur11?OD1?(?,?,0)
22由于AB?平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1
?AB?A1D，又AD1?A1D，ABIAD1
?A1D?平面ABC1D1
uuuurABCD故平面,0,1) 11的一个法向量为：DA1?(1?O到平面ABC1D1的距离为： 1uuuuruuuur|OD1?DA1|2 uuuurd??2?4|DA1|2故选：B 【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
7．已知VABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA?22，BC?1，3AC?3，三棱锥O?ABC的体积为
A．36? 【答案】B 【解析】 【分析】
B．16?
14，则球O的表面积为( ) 6C．12?
D．
16? 3根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积． 【详解】
AB2?AC2?BC2AB2?9?122由余弦定理得cosA?，解得AB?22， ??2ABgAC6AB3?AB2?BC2?AC2，即AB?BC．
?AC为平面ABC所在球截面的直径．
作OD?平面ABC，则D为AC的中点， 11114， QVO?ABC?S?ABCgOD???22?1?OD?3326?OD?7． 2?OA?OD2?AD2?2． ?S球O?4??OA2?16?．
故选：B．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断?ABC的形状是关键．
8．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )
A．
9 2B．
92 2C．32 D．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案． 【详解】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC?DEF，所得的组合体，
其截面是一个梯形BCFE， 上底长为12?12?高为：22?(2，下底边长为22?22?22，
2232， )?22故截面的面积S?故选：A． 【点睛】
1329(2?22)??， 222本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．
27 3B．
27 6C．
27 4D．
27 2【答案】D 【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】
几何体为一个三棱锥，高为3为V=?33?【点睛】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
33，所以体积3，底为一个直角三角形，直角边分别为3，13127?3?33=，选D. 22
10．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1（不包括端点）上的动点,且线段PP1ADD1,则四面体PP12AB1的体积的最大值是 12平行于平面AA．
1 24B．
1 12C．
1 6D．
1 2【答案】A 【解析】
由题意在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P1,P2分别是线段AB,BD1上的动
点，
且线段PP1ADD1,?PP12B??AD1B， 12平行于平面A?x,x?(0,1)，即PP 设PB到平面AA1B1B的距离为x， 112?2x,P2 所以四棱锥PP12AB1的体积为V? 当x?111??(1?x)?1?x?(x?x2)， 32611时，体积取得最大值，故选A． 224
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若B1PP平面A1BM，则C1P的最小值是（ ）
A．C．30 527 5B．D．230 547 5【答案】B 【解析】 【分析】
在A1D1上取中点Q，在BC上取中点N，连接DN,NB1,B1Q,QD，根据面面平行的判定定理可知平面B1QDN//平面A1BM，从而可得P的轨迹是DN（不含D,N两点）；由垂直关系可知当CP?DN时，C1P取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】
如图，在A1D1上取中点Q，在BC上取中点N，连接DN,NB1,B1Q,QD
QDN//BM，DQ//A1M且DNIDQ?D，BMIA1M?M
?平面B1QDN//平面A1BM，则动点P的轨迹是DN（不含D,N两点）
又CC1?平面ABCD，则当CP?DN时，C1P取得最小值
222230??2? 此时，CP? ?CP??2?1??512?225?5?2?1本题正确选项：B 【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
12．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对 C．4对 【答案】C 【解析】 【分析】
B．3对 D．5对
画出该几何体的直观图P?ABCD，易证平面PAD?平面ABCD，平面PCD?平面
PAD，平面PAB?平面PAD，平面PAB?平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD?平面ABCD， 作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD， 所以平面PCD?平面PAD， 同理可证：平面PAB?平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD， 所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB?平面PCD， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
13．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是( )
A．30° 【答案】A 【解析】 【分析】
B．45? C．60? D．90?
以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与侧面ABB1A1所成的角． 【详解】
解：以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(aa3a3a，，0)，C1(0，0，2a)，A1(，，2a)，B(0，a，0)， 2222uuuruuuuruuuraa3a3a0)，?，2a)，AB?(?，，，AA1?(0，0，2a)， AC1?(?2222r设平面ABB1A1的法向量n?(x，y，z)，
v?vuuu3aan·AB??x?y?0r?22则?，取x?1，得n?(1，3，0)，
vuuuv?nAA1?2az?0?·设AC1与侧面ABB1A1所成的角为?，
ruuuurruuuur|ngAC1|3a1r??， 则sin??|cos?n,AC1?|?ruuuu|n|g|AC1|23a2???30?，
?AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为
1圆周，则该不规则几何体的体积为（ ） 4
A．1?? 2B．
1?? 36
C．1?2?
D．
12?? 33【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与体积即可． 【详解】
解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与如图所示；
则该组合体的体积为V?1圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的41圆锥体的组合体， 411111???1?1?2????12?2??； 3234361??． 36所以对应不规则几何体的体积为故选B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
15．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1B1的中点，则AD与平面
BCC1B1所成角的正弦值为（ ）
A．5 5B．25 5C．10 10D．15 10【答案】D 【解析】 【分析】
先找出直线AD与平面BCC1B1所成角，然后在VB1EF中，求出sin?EB1F，即可得到本题答案. 【详解】
如图，取AB中点E，作EF?BC于F，
连接B1E,B1F，则?EB1F即为AD与平面BCC1B1所成角. 不妨设棱长为4，则BF?1,BE?2，
?EF?3,B1E?25 ?sin?EB1F?故选：D 【点睛】
315. ?2510本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
16．已知四面体P?ABC的外接球的球心O 在AB 上，且PO?平面ABC，
2AC?3AB，若四面体P?ABC的体积为
A．8? 【答案】B 【解析】 【分析】
B．12?
3，求球的表面积( ) 2D．123?
C．83?
依据题意作出图形，设四面体P?ABC的外接球的半径为R，由题可得：AB为球的直径，即可求得：AB?2R，AC?方程即可求得R?【详解】
依据题意作出图形如下：
3R， BC?R，利用四面体P?ABC的体积为
3列23，再利用球的面积公式计算得解。
设四面体P?ABC的外接球的半径为R， 因为球心O 在AB上，所以AB为球的直径， 所以AB?2R，且AC?BC 由2AC?3AB可得：AC?3R， BC?R
所以四面体P?ABC的体积为V?解得：R?1113S?ABC?PO???3R?R?R? 33223 所以球的表面积S?4?R2?12? 故选：B 【点睛】
本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。
17．设?为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A．若a//?，b//?，则a//b C．若a??，a?b，则b//? 【答案】B 【解析】 【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解． 【详解】
若a//?，b//?，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
若a??，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知b??，故B正确； 若a??，a?b，则b//?或b??，故C错误；
若a//?，a?b，则b//?，或b??，或b与?相交，故D错误． 故选：B．
B．若a??，a//b，则b?? D．若a//?，a?b，则b??
rrrrrrrr【点睛】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG?2GN，用向量OA，OB，OC表示向量OG是（ ）
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv2uuuv2uuuvA．OG?OA?OB?OC
33uuuv1uuuv1uuuv1uuuvC．OG?OA?OB?OC
633【答案】C 【解析】 【分析】
示，就可以得到结论． 【详解】
uuuv1uuuv2uuuv2uuuvB．OG?OA?OB?OC
233uuuv1uuuv1uuuv2uuuvD．OG?OA?OB?OC
633根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表
uuuruuuuruuuuruuuur2uuuurQOG?OM?MG?OM?MN ,
3uuuur2uuuuruuuruuurr2uuur1uuuruuurr1uuur1uuur1uuuu1uuu?OM?MO?OC?CN?OM?OC?OB?OC?OA?OB?OC
3333633uuur1uuur1uuur1uuur?OG?OA?OB?OC ,
633故选：C． 【点睛】
????本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
19．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A．2 C．
B．1 D．
3 25 2【答案】C 【解析】 【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可． 【详解】
由正视图可知：M是AD1的中点，N在B1处，Q在C1D1的中点， 俯视图如图所示：
可得其面积为：2?2?【点睛】
1113?2?1??1?1??1?2?，故选C． 2222本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
20．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为( ) A．15 3B．5 3C．6 4D．10 4【答案】D 【解析】 【分析】
取AC的中点N，连接C1N，则AM//C1N,所以异面直线AM与BC1所成角就是直线
AM与C1N所成角，在?BNC1中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC的中点N，连接C1N，则AM//C1N,
所以异面直线AM与BC1所成角就是直线AM与C1N所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则C1N?5,BC1?22,BN?3， 设直线AM与C1N所成角为?，
(5)2?(22)2?(3)210在?BNC1中，由余弦定理可得cos??， ?42?5?22即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为
10，故选D． 4
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．