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第二章 作业答案
2–1 已知描述某LTI连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。
（1）y??(t)?3y?(t)?2y(t)?2e?(t)?e(t) y(0?)?2，y?(0?)??1
解：
根据微分方程，可知特征方程为：
?2?3??2?0?(??1)(??2)?0
所以，其特征根为： ?1??2,?2??1
所以，零输入响应可设为：y?2tzi(t)?C1e?C?t2e又因为 ??y(0?)?C1?C2?2?y?(0?2C???C1??1?)?1?C2??1?C2?3所以，y(t)?3e?t?e?2tzit?0
（2）y??(t)?5y?(t)?6y(t)?e?(t)?2e(t) y?(0?)?y(0?)?1。
解：
根据微分方程，可知特征方程为：
?2?5??6?0?(??2)(??3)?0
所以，其特征根为： ?1??2,?2??3
所以，零输入响应可设为：yC?2t?3tzi(t)?1e?C2et?0
t?0
?y(0?)?C1?C2?1?C1?4又因为 ? ???y(0)??2C?3C?1C??3?12??2?2t?3t所以，yzi(t)?4e?3et?0
2–2 某LTI连续系统的微分方程为y??(t)?3y?(t)?2y(t)?e?(t)?3e(t) 已知y(0?)?1，y?(0?)?2，试求： （1） 系统的零输入响应yzi(t)；
（2） 输入e(t)??(t)时，系统的零状态响应yzs(t)和全响应y(t)。 解：
（1）根据微分方程，可知特征方程为：
?2?3??2?0?(??1)(??2)?0
所以，其特征根为： ?1??2,?2??1
?2t所以，零输入响应可设为：yzi(t)?C1e又因为 ??C2e?tt?0
?y(0?)?C1?C2?1?C??3??1
?y?(0?)??2C1?C2?2?C2?4?t所以，yzi(t)?4e?3e?2tt?0
?2t
（2） 可设零状态响应为：yzs(t)?Cx1e?Cx2e?t?pt?0
其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。
因为e(t)??(t) 所以，p 为常数，根据系统方程可知，p?32 。 于是，零状态响应可设为为：yzs(t)?Cx1e?2t?Cx2e?t?32将上式代入原方程中，比较方程两边的系数，可得到
t?0
1?C??12 ???C2??2所以，yzs(t)?1?2te?2e?t?322t?0
全响应为 y(t)?yzi(t)?yzs(t)
1yzs(t)?(4e?t?3e?2t)?(e?2t?2e?t?32)25yzs(t)?(2e?t?e?2t?32)2t?0
t?0
2–3 试求下列各LTI系统的冲激响应和阶跃响应。 （1）y??(t)?4y?(t)?3y(t)?e?(t)?2e(t) 解：
根据 在激励信号为?(t)的条件下，求解系统的零状态响应可得
h(t)?1?te?e?3t??(t) 2??因为，单位阶跃响应g(t)??h(?)?d?
0?t所以，g(t)??1??e?e?3??d? 0?2t??1??e??2t0?1?e?3?6t0??11(1?e?t)?(1?e?6t),t?0 26?
21?t1?6t?e?e,t?0 326
（2）y\(t)?3y?(t)?2y(t)?e??(t)?2e?(t)?2e(t) 解：
可先求系统 y\(t)?3y?(t)?2y(t)?e(t) 的冲激励响应h0(t)，
\'(t)?2h0(t)?2h0(t)。 则，原系统的冲激响应为h(t)?h0因为y\(t)?3y?(t)?2y(t)?e(t)的特征根为：?1??2,?2??1 所以，可设冲激响应为：h0(t)?(C1e?2t?C2e?t)??(t) 将h0(t)代入系统方程，并确定待定系数后，可得：
h0(t)?(e?t?e?2t)??(t)
\'(t)?2h0(t)?2h0(t) 因为，h(t)?h0'\(t)?(2e?2t?e?t)??(t)，h0(t)??(t)?(4e?2t?e?t)??(t) 又因为，h0
所以，
h(t)??(t)?(4e?2t?e?t)??(t)?2?(2e?2t?e?t)??(t)?2?(e?t?e?2t)??(t)
??(t)?(2e?2t?e?t)??(t)
??因为，单位阶跃响应g(t)??h(?)?d?
0?t所以，g(t)???(t)?2(e?2t?e?t)?(t)?d?
0?t???1?e?t?2e?2t??(t)
??
2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积，并画出其波形。 （1）f1(t)?f2(t) （3）f4(t)?f2(t)
（2）f1(t)?f3(t) （4）f4(t)?f3(t)