loading中考数学“分类讨论”专题复习
学校：东区五校联合体 主备人：刘少山 审核人： 刘天申 时间： 3.26
第一课时
第一大类：分类讨论在数与代数中的应用
一.目标导航：
1.通过分类讨论专题复习能够区分数学对象的相同点和差异点，掌握分类的方法，掌握将数学对象区分为不同种类的思想方法。
2.掌握分类思想在代数中的应用，领会其实质，加深对基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力。
二.考点动向：
分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。中考“分类讨论”题一般分为两大类，一是分类讨论在数与代数中的应用；一是在空间与图形中的应用。常见分类讨论在代数中的题型有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值分类（二次根式的化简，一元二次方程概念等）；考查的方式有填空题，选择题，综合题，特别是中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。
【例题解析】
考点1：按数分类讨论问题
【例题1】已知直角三角形两边、的长满足第三边长为 。
解：由已知易得⑴若⑵若⑶若
。 ， 。 ，则
是三角形两条直角边的长，则第三边长为是三角形两条直角边的长，则第三边长为是一直角边的长，
。
是斜边，则第三边长为
∴第三边长为
考点2：方程、函数中的分类讨论问题
方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.
【例题2】：如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的．．．三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．
，；F(1，2)． 【答案】（1）E(31)（2）在Rt△EBF中，
?B?90o，
?EF?EB2?BF2?12?22?5．
2)，设点P的坐标为(0，n)，其中n?0， Q顶点F(1， ?设抛物线解析式为y?a(x?1)2?2(a?0)．
①如图①，当EF?PF时，EF2?PF2，
?12?(n?2)2?5．解得n1?0（舍去）；n2?4．
?P(0，4)． ?4?a(0?1)2?2．解得a?2． ?抛物线的解析式为y?2(x?1)2?2
②如图②，当EP?FP时，EP2?FP2，
5?(2?n)2?1?(1?n)2?9．解得n??（舍去）．
2③当EF?EP时，EP?5?3，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)2?2． （3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小． 如图③，作点E关于x轴的对称点E?，
作点F关于y轴的对称点F?，连接E?F?，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
?E?(3，?1)，F?(?1，，2)NF?NF?，ME?ME?．
?BF??4，BE??3．
?FN?NM?ME?F?N?NM?ME??F?E??32?42?5．
又QEF?5，
?FN?NM?ME?EF?5?5，此时四边形
MNFE的周长最小值是5?5．
考点3：在实际应用中代数分类讨论问题
【例题3】（2011河南）21. (10分)某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m 收费标准(元/人)
0 100 85 m>200 75 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费10 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元. (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗?为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人? 【解析】考查了方程和不等式的问题，涉及了分类讨论问题。 解：（1）设两校人数之和为a. 若a＞200，则a=18 000÷75=240. 若100＜a≤200，则a?18000?85?21113，不合题意. 17所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人.……3分 （2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则 ?x?y?240,?x?160,①当100＜x≤200时，得?解得? 85x?90y?20800.y?80.???x?y?240,②当x＞200时，得? ?75x?90y?20800.1?x?53,??3解得? 2?y?186.?3?此解不合题意，舍去. ∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人. 【巩固练习】 1.两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． ．．．．． 2. 已知α、β是方程x2+x+a=0的两个实数根。求 a的取值范围；⑵试用a表示|α|+|β|。 3.当m是什么整数时，关于x的方程：x2－2(m+1)x+m2+2=0，与方程⑵：x2+(2m－3)x+m2－7=0的根都是整数？ 4.已知直线y=－x+8和双曲线y?k(k?0)。 x⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ ⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小。 5.已知抛物线y＝x2－5mx+4m2 (m为常数). (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点； (2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 6.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【达标演练】 1． 已知α、β是方程x2+x+a=0的两个实数根。求 a的取值范围；⑵试 6？若m?1用a表示|α|+|β|。 2． 一次函数y?7x?7的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点3C（a，0）（a<0）使△ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数的解析式。 3． 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射 线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切 1值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出S与x的函数 2关系式，并求出自变量x的取值范围。 4．已知抛物线y＝x2－5mx+4m(m为常数). (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点； (2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于在，求出m的值；若不存在，说明理由. 5．在直角坐标系xoy中，一次函数y?3x?2的图象与x轴交于点A，与y轴32 6？若存m?1交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.（2011?青岛）某企业为了改善污水处理条件，决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： 价 格（万元/ 型 A型 8 6 B 台） 月处理污水量（吨/元购处理 （1）企业有哪几种购买方案？ （2）哪种购买方案更省钱？ 月） 00 280 1经预算，企业最多支出57万买污水处理设备，且要求设备月污水量不低于1490吨．