loading第19讲 矩形、菱形和正方形
(时间45分钟 满分120分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．(2017·上海)已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D )
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
第2题图
第3题图
3．(2017·河南)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( D )
A．(3，1) B．(2，1) C．(1，3) D．(2，3)
(导学号 58824172)
4．(2017·绵阳)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A )
A．1 B．2 C.2 D.3
第4题图
第5题图
5．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱
形的周长为( D )
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
6．(2017·株洲)如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为( C )
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形 C．可能是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
第6题图
第7题图
7．(2017·常州)如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( A )
A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)
8．(2017·呼和浩特)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝5，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是( C )
A．DE＝1 B．tan∠AFO＝ C．AF＝
10 2
94
13
D．四边形AFCE的面积为 二、填空题(每小题3分，共18分) 9．(2017·十堰)如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝_20°_.
第9题图
第10题图
10．(2016·成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_33_. (导学号 58824173)
11．(2017·哈尔滨)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为_43或23_.
12．(2016·广东)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝23，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝_3_. 13．(2017·怀化)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为_103－10_cm.
第13题图
第14题图
14．如图，△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化过程中，有下列结论：
①DE＝DF；②∠EDF＝90°；③四边形CEDF不可能为正方形；④四边形CEDF的面积保持不变．
一定成立的结论有_①②④_.(把你认为正确的序号都填上) 三、解答题(本大题4小题，共45分)
15．(11分)(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG， ∠AEG＝∠BFG，??
在△AGE和△BGF中，?∠AGE＝∠BGF，
??AG＝BG，
∴△AGE≌△BGF(AAS)；
(2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下： ∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，
∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形， 又∵EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
16．(11分)(2017·南宁)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． (导学号 58824174)
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∵BE＝DF，∴OE＝OF，
OA＝OC，??
在△AOE和△COF中，?∠AOE＝∠COF，
??OE＝OF，∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF；
(2)解：∵∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝AC－AB＝63.
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×63＝363. 17．(11分)(2017·北京)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
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