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命题及其关系、充分条件与必要条件
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一、选择题
1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 C．逆否命题
B．否命题 D．否定
B [命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．]
2．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac＞bc”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 C．2
2
2
2
2
B．1 D．4
C [当c＝0时，ac＝bc，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac＞bc，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．]
3．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)≤1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [2－x≥0，则x≤2，(x－1)≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－
2
2
2
2
x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．]
?1?13
4．设x∈R，则“?x－?＜”是“x＜1”的( )
?2?2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
?1?1A [由?x－?＜，
?2?2
得0＜x＜1，
1
所以0＜x＜1； 由x＜1，得x＜1，
3
3
?1?13
不能推出0＜x＜1.所以“?x－?＜”是“x＜1”的充分而不必要条件．故选A.]
?2?2
5．(2019·庆阳模拟)有下列命题：
①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m＞1，则mx－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题； ④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题． 其中为真命题的是( ) A．①②③ C．①③④
B．②③④ D．①④
2
C [①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m＞1”， ∵当m＝0时，解集不是R， ∴应有?
?m＞0，?
2
??Δ＜0，
即m＞1. ∴③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真． 综上得①③④为真命题，故选C.]
6．下列说法正确的是( )
A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题是“若x＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x－x－2＝0”的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题 π
D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件
4
C [对A项，由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x≠1，则x≠1”，即A错误；因为x－x－2＝0?x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x－x－2＝0”，反之，由“x－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x－x－2＝0”的充分不必要条件，即B错误；因为由x＝y能推出sin x＝sin y，即原命题是真命题，所以它的逆ππ否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，
44
2
2
2
2
22
2
2
2
π
所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，
4即D错误．]
7．若x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是
( )
A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
D [∵x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，
∴(－1,4)(2m－3，＋∞)，∴2m－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.] 二、填空题
8．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
充要 [由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．]
9．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
充分不必要 [当x＞1，y＞1时，x＋y＞2一定成立，即p?q，当x＋y＞2时， 可令x＝－1，y＝4，即q?/ p， 故p是q的充分不必要条件．]
10．直线x－y－k＝0与圆(x－1)＋y＝2有两个不同交点的充要条件是________．
2
2
2
2
22
k∈(－1,3) [直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于
＜2，
解之得－1＜k＜3.]
1．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 C [由|a－3b|＝|3a＋b|， 得(a－3b)＝(3a＋b)，
即a＋9b－6a·b＝9a＋b＋6a·b.
2
2
2
2
2
2
|1－0－k|
2
3
因为a，b均为单位向量， 所以a＝b＝1，
所以a·b＝0，能推出a⊥b.
由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．]
2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 C．充要条件
B．必要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]
3．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a＞b”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． ②③ [①原命题的否命题为“若a≤b， 则a≤b”，错误．
②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数， 则x＋y＝0”，正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x≥4”，正确．]
??1?x4．已知集合A＝?x?＜2＜8，x∈R?
??2?
2
2
22
2
2
，B＝{x|－1＜x＜m＋1，m∈R}，若x∈B成立
的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
??1?x(2，＋∞) [因为A＝?x?＜2＜8，x∈R?
??2?
＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分
不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.]
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a＞b＋1 C．a＞b
2
2
B．a＞b－1 D．a＞b
3
3
A [a＞b＋1?a＞b，但反之未必成立，故选A.] 2．给出下列说法：
4
π
①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；
2②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题； ③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x＜－1，则x－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x－2x－3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． π
①②④ [对于①，“若x＋y＝，
2
则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y， π
则x＋y＝”，
2
3π3π
当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正
22确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B＞sin C?b＞c?B＞C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．]
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2
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