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全国初中数学竞赛初赛试题汇编
（1998-2018）
目录
1998年全国初中数学竞赛试卷 ................................................................................................................. 1 1999年全国初中数学竞赛试卷 ................................................................................................................. 6 2000年全国初中数学竞赛试题解答.......................................................................................................... 9 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 ............................................................................................. 14 2002年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 15 2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 ........................................................................... 17 2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 ................................................................................ 25 2005年全国初中数学竞赛试卷 ............................................................................................................... 30 2006年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 32 2007年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 38 2008年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 46 2009年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 47 2010年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 52 2011年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 57 2012年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 60 2013年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 73 2014年全国初中数学竞赛预赛 ............................................................................................................... 77 2015年全国初中数学竞赛预赛 ............................................................................................................... 85 2016年全国初中数学联合竞赛试题........................................................................................................ 94 2017年全国初中数学联赛初赛试卷...................................................................................................... 103 2018 年初中数学联赛试题 .................................................................................................................... 105
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1998年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a、b、c都是实数，并且a?b?c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab?bc（Ｂ）a?b?b?c（Ｃ）a?b?b?c（Ｄ）
22、如果方程x?px?1?0?p?0?的两根之差是1，那么p的值为（ ）
（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc?0，并且
ab? cca?bb?cc?a???p，那么直线y?px?p一定通过第（ ）象限 cab（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组??9x?a?0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有
8x?b?0?（ ）
（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个
二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程ax?3a?8ax?2a?13a?15?0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。
222?2?2三、解答题：（每小题20分，共60分）
11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
12、设抛物线y?x2??2a?1?x?2a?18?6AEE为腰AC中点，点F
5的图象与x轴4只有一个交点，（1）求
a的值；（2）求a?323a的值。
FBC13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器
支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。 （1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。
解 答
1．根据不等式性质，选B．．
1
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2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由 (x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，
3．如图3－271，连ED，则
又因为DE是△ABC两边中点连线，所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0． 当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限． 限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
y=-x-1，则直线通过第二、三、四象
的可以区间，如图3－272．
+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所
2
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以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以
8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为
当圆环为50个时，链长为
9．因为a≠0，解得
故a可取1，3或5．
10．如图
3－276，设经过t小时后，A船、B
船分别航行到A1，
A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|， 所以
3
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11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为 ∠ABE＋∠AEB=90°， ∠CED＋∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠CED． 于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
所以
解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为 ∠ABE＋∠AEB＝90°， ∠FEH+∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得 a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，
4
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又
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13， a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169 ＝987a＋610，
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610 =2584a＋1597．
因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即 (8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796． 13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10) =-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200， 且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又 W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200，
当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．
5
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1999年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B， C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）
1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）． A．11 B．12 C．13 D．14
2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）．
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 3．已知
，那么代数式
的值为（ ）．
A． B．－ C．－ D．
4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）．
A．30 B．36 C．72 D．125
5．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）
x2 + y2的值为 ． 7．已知，那么
8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0＜x＜10）．
9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么的值为 ．
10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ．
6
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11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ．
12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两
台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．
14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，
且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．
15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以
是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：
． （1）（10分）证明：可以得到22； （2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2．
1999年全国初中数学竞赛答案
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D
二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10．
三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：
又∵st≠1，
．
11．
12．6
7
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∴，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有
． 即st + 1 =－99s，t = 19s． ∴
．
14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H． ∵AB=BD，O是圆心， ∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°， ∴BH∥CD．
从而△OPB∽△CPD．
∴CD=1．
于是AD= 又OH= AB= BC=
所以，四边形ABCD的周长为
15．证明： （1）
．
也可以倒过来考虑：
．
（或者 （2）
．）
．
或倒过来考虑：
．
注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．
8
，
．
CD=，于是
， ．
．
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2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）。 （A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
a?b?ca?bN?ca?b?2ca?b?2c，N＝，P＝，M－P＝， ?322212a?b?2cc?c?2c∵a＞b＞c，∴＞?0，即M－P＞0，即M＞P。
1212答：（B）。∵M＝
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离
起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。
答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。 （A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。 答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线y=
595，则在线x?平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25）
44段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。 答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB
1≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。 4aa?b5、设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且?，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
ba?b?c上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。由
aa?bab得?，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，∠C?ba?b?cba?c
为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（ ）。 （A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
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答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②
设，则，S＝10，，S＝10，
，则S1＝
，则
×100＞10，即S＜S1；
，S1＝10，即S
③设，则
＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。 二、填空题
7、已知：，那么＝________。
答：1。∵，即。∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6等于________。
，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积
答：66＋6
（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6
，∠BCD＝45°，得AE＝
＋8＋6＝14
BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2
＋2，∴
的方程
。
的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。
9、已知关于
答：5。①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，再由且是
整数，知，∴；由①、②得符合条件的整数有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。
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答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及
，两式相加得，由此得
AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线面积相等的两部分，那么
＝________。
恰好将矩形OABC分成
答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注：×100％）
答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，
在销售时的利润率为×100％，依题意得：
×100％＋8％＝
×100％＝17％。 三、解答题 13、设数根（1）若
是不小于。
，求
的值。
的实数，使得关于
×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为
的方程有两个不相等的实
（2）求的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
，∴
。根据题设，有。
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（1）因为
，即。
由于，故。
（2）
。
设上是递减的，所以
当时，取最大值10。故的最大值为10。
14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。 解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3。 ∴OH＝
＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴，∵E是AC的中点，∴，
，∴，∴。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，别考虑如下：
。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分
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设电梯停在第①当
层。
时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为
。
；交
②当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
。
换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为③当
时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为
，前者比后者多
。 ；
④当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
，前者比后者多
。
交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为⑤当
时，若住第
层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
，前者比后者多
。
；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为
今设电梯停在第
层，在第一层有
人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：
当x＝27，y＝6时，s＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。
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2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷
选择题（30分）
2n?4?2(2n)1、化简，得（ ） n?32(2)177（A）2n?1? (B) ?2n?1 (C) (D)
884a?bb?cc?a2、如果a,b,c是三个任意整数，那么 （ ） ,,222（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数 3、如果a,b是质数，且a?13a?m?0,b?13b?m?0,那么 （A）
22ba?的值为（ ） ab123125125123 （B） （D）或2 （C）或2 222222224、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、 1 2 下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（ ） …… （A）6 （B）8 （C）10 （D）12
3 4 5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB
交于点D,且PB=4，PD=3，则AD?DC等于（ ） P
（A）6 （B）7 （C）12 （D）16 D C A B 6、若a,b是正数，且满足12345?(111?a)(111?b)，则a和b之间的大小关系是（ ） （A）a?b （B）a?b （C）a?b （D）不能确定 填空题（30分） 7、已知：x?3?23?23?2228、若x?xy?y?14,y?xy?x?28,则x?y的值为
9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于
10、销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少
,y?3?2。那么
yx?? x2y2m。为了使该商品的销售总金额最大，那么m的150值应该确定为
11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x?
222212、已知实数a,b满足a?ab?b?1,且t?ab?a?b，那么t的取值范围是 解答题（60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。
14
才哥数学481659882
求证：
1111?(?). P PC2PAPB
S A
C O T
15、已知：关于x的方程 (a2?1)(x2x)?(2a?7)()?11?0 x?1x?1有实根。
求a取值范围；
若原方程的两个实数根为x1,x2，且,
x1x3?2?，求a的值。 x1?1x2?111
2002年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（每小题5分，共30分） 1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则
a?b的值为 a?bA、3 B、6 C、2 D、3
2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为 A、0 B、1 C、2 D、3
3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
S四边形AGCDS矩形ABCD等于
D54A、 B、
6532C、 D、
43ACGEBF???4、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值
333A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0
5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是
222＜a＜ B、a＞
55722C、a＜? D、?＜a＜0
711A、?6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于 A、a?b B、a?ab?b C、
22221?a?b? D、a＋b 2二、填空题（每小题5分，共30分）
7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根， 则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。
15
才哥数学481659882
8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则a?c?c?b的值为 。
9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。
A O3 OBAO2O1
P
O4 C B10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，
这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。
11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 ___________个。
12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。
三、解答题（每小题20分，共60分） 13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2元；由甲、丙两队承包，223天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000546天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪7个队的承包费用最少？
14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。
QDAC ?EDECCPAC2?（2）求证： FPECE2求证：
ABQC P ED
15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。 证明：（1）2a、2b、c都是整数；
（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？
16
才哥数学481659882
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）
5x2?2y2?z21．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ).
2x?3y2?10z2119(A) ? (B) ? (C) ?15 (D) ?13
222．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，
每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ). (A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720° A G A B
D F C O C 4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条E D B （第4题图） 线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.
（第3题图）
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知x?1?3，那么
7．若实数x，y，z满足x?111?2?? . x?2x?4x?21117?4，y??1，z??，则xyz的值为 . yzx3
8．观察下列图形：
① ② ③ ④
根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .
A 9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的
面CD和地面BC上，如果CD与地面成45o，∠A=60
?46?22m，则电线杆AB的长为_______m.
D ?影子恰好照在土坡的坡
o CD=4m，BC=
210．已知二次函数y?ax?bx?c（其中a是正整
17 B C 数）的图象经 过点A（－
（第9题图） 才哥数学481659882
1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 . 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，
与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
6 D 17 解：
C
14 E A 13 10 A 12 D 15 O E 11 P
F B11 O 5 (第题图) 7 18
G 9
H
C B
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 解：
(第12题图)
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
CD2?BD2AD?BD?（1）当点D在斜边AB内部时，求证：. 2BCAB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
C
(第13 B题图)
B D
18
A 才哥数学481659882
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求a?b?c的最小值.
注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x?2(k?2)x?k?0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2?PB2?PC2的值. 解： A
(第13A题图)
O P C B
19
2 才哥数学481659882
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由. 解：（1）
1 2 6
5 3 （2）
4
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案与评分标准
一、选择题（每小题6分，满分30分） 1．D 由??4x?3y?6z?0,?x?3z, 解得? 代入即得.
?x?2y?7z?0,?y?2z.2．D
因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°. A A G
B
D
C O F M C N B (第4题图) (第3题图)
E D 4．D
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。
222（1）若AB=9，当CD=x时，9?x?(1?5)，x?35；
当CD=5时，9?5?(x?1)，x?214?1；
20
222 才哥数学481659882
222当CD=1时，9?1?(x?5)，x?45?5.
222（2）若AB=x，当CD=9时，x?9?(1?5)，x?313； 222当CD=5时，x?5?(1?9)，x?55；
当CD=1时，x?1?(5?9)，x?197. 故x可取值的个数为6个. 5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知
222kn?n(n?1)?100，即n?2k??n?1???200. 2因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案. 6．?3. 2?33111?41?3??＝。 ?2??2?2?222x?2x?4x?2x?4x?4x?4(1?3)?47．1.
71?11z3x?x?7x?3， ?x??x?因为4?x??x?171yz?14x?31???1z3x所以 4(4x?3)?x(4x?3)?7x?3，
3解得 x?.
271725132从而 z?????，y?1??1??.
3x333z55325于是 xyz????1.
2538．161.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为 1+4+3×4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161（个）. 9．62.
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE 因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以EF=DFtan60°=26（m）.
A 于F.
CF=DF=22m，
D AB3?tan30??因为，所以BE33AB?BE??62（m）.
310.－4.
(第9题图) B C F E 由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以?解得 ??a?b?c?4,
?4a?2b?c?1,?b??a?1,
?c?3?2a.2因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以??b?4ac?0，
(?a?1)2?4a(3?2a)?0，即(9a?1)(a?1)?0，由于a是正整数，故a?1，
21
才哥数学481659882
所以a≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足 题意，故b+c的最大值为－4.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O
于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，A 问EP与PD是否相等？证明你的结论. 解：DP=PE. 证明如下：
E 因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
P 所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得 O 的切线，OC平行
与DE交于点P.
D EPAE . ① ……（6分） ?BCAB(第11题图) 又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED故
∽Rt△OBC.
B C EDAEAE2AE ② ……???BCOB1ABAB2（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）
（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时. ……（10分）
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为： A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的费用最少为：
6 80×48×1.2=4608（元）…（14分） D 17 答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费
14 用最少为4608元 ……（15分） 13 (第12题图) 13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°. 10 （1）当点D在斜边AB内部时，求证：12 CEACD2?BD2AD?BD?. 2BCAB15 11 O （2）当点D与点A重合时，第（1）小题说明理由. （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）请说明理由. 解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股
F 7 5 18 B 中的等式是否存在？请小题中的等式是否存在？定理得
G 9 E C H D A CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)?CE?BE?(CE?BE)BC.22
B CD2?BD2CE?BECEBE???所以 .
BCBCBCBC2CEADBEBD因为DE∥AC，所以 . ?,?BCABBCAB
22
才哥数学481659882
CD2?BD2ADBDAD?BD???故 . ……（10分） ABABABBC2（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0，CD=AC，BD=AB.
CD2?BD2AC2?AB2?BC2????1， 所以 222BCBCBCAD?BD?AB???1.
ABAB从而第（1）小题中的等式成立. ……（13分） （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立. 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则
CD2?BD2CE2?BE2E ?BC2BC2
CE?BE2CE????1?,BCBCAD?BD?AB而???1,
ABABCD2?BD2AD?BD?所以 . ……（152ABBCC B A D 分）
〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清
者不扣分）.
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求a?b?c的最小值.
解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0， 且b+c=2-a，bc?4. a4?0的两实根， a于是b，c是一元二次方程x2?(2?a)x???(2?a)2?4?4≥0， aa3?4a2?4a?16≥0，(a2?4)(a?4)≥0. 所以a≥4. ……（8分）
又当a=4，b=c=-1时，满足题意.
故a，b，c中最大者的最小值为4. ……（10分） （2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.
若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾. 2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则
a?b?c?a?b?c?a?(2?a)?2a?2，
由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故a?b?c的最小值为6. ……（15分）
213A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x?2(k?2)x?k?0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C
是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不A 222是合数，求 PA?PB?PC的值. 解：设方程x?2(k?2)x?k?0的两个根
O 23 P 2B C 才哥数学481659882
为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得
x1?x2?4?2k， ① x1x2?k. ②
由题设及①知，x1，x2都是整数. 从①，②消去k，得 2x1x2?x1?x2?4， (2x1?1)(2x2?1)?9.
由上式知，x2?4，且当k=0时，x2?4，故最大的整数根为4.
于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分） 连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
(第13A图) PAPC。 ?PBPA2故 PA?PB(PB?BC) ③ ……（10分）
（1）当BC=1时，由③得，PA?PB?PB，于是
22PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA2?PB2?2PB，于是
PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得，PA2?PB2?3PB，于是 (PA?PB)(PA?PB)?3PB，
由于PB不是合数，结合PA?PB?PA?PB，故只可能
?PA?PB?1,??PA?PB?3PB,?PA?2,解得 ?
PB?1.?此时 PA2?PB2?PA?PB?3, ??PA?PB?PB,?PA?PB?PB, ??PA?PB?3,?PC2?21.
22（4）当BC=4，由③得，PA?PB?4PB，于是 (PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2，矛盾.
综上所述
PA2?PB2?PC2?21. ……（15分）
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由. 解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下： 1 1 1 3 6 2 6 3 6 (3－5)(2－4)>0 (1－4)(2－3)>0 交换2，4 交换2，3 5 3 5 5 2 4 4 4 2 1 1
6 4 6 4 (1－2)(3－4)>0 交换3，4 24 (3－6)(2－5)>0 交换2，5 才哥数学481659882
……（5分）
（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）
开始时，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1，有
Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0.
所以Pk?1?Pk??1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有(a?d)(b?c)≤0. …
2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案和评分标准
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1. 已知实数a?b，且满足(a?1)?3?3(a?1)，3(b?1)?3?(b?1).则b（A）23 （B）?23 （C）?2 （D）?13 答：选（B）
∵ a、b是关于x的方程
22ba?a的值为（ ）. ab?x?1?2?3(x?1)?3?0
的两个根，整理此方程，得
x2?5x?1?0， ∵ ??25?4?0， ∴ a?b??5，ab?1. 故a、b均为负数. 因此
?a?b??2ab??23. babaa2?b2b?a??ab?ab??ab??abababab2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有 （ ）.
111111（A）ab?h2 （B）?? （C）2?2?2 （D）a2?b2?2h2
abhabh2答：选（C）
∵ a?h?0，b?h?0，
22222∴ ab?h2，a?b?h?h?2h； 因此，结论（A）、（D）显然不正确. 设斜边为c，则有a?b?c，
111(a?b)h?ch?ab，即有 222111??， abh因此，结论（B）也不正确. 由
11111a2?b2h?ab化简整理后，得2?2?2， 22abh因此结论（C）是正确的.
25
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3．一条抛物线y?ax?bx?c的顶点为（4，?11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为2正数的（ ）. （A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b 答：选（A）
由顶点为（4，?11），抛物线交x轴于两点，知a>0.
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程
ax2?bx?c?0
的两个根.
由题设xc1x2?0，知
a?0，所以c?0. 根据对称轴x=4，即有?b2a?0，知b<0.
故知结论（A）是正确的.
4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S（ ）.
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12 答：选（B）
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以
（第4题图） CDS?CDECA?S?2?1，
?CAB324又由题设知FDFA?12，所以
FD1AD?3， FD?11313AD?3?4AC?4AC，
故FD?DC，于是
S2?CDES???1???14，S?CFG?8. ?CFG?2?因此，结论（B）是正确的.
5．如果x和y是非零实数，使得
x?y?3和xy?x3?0，
那么x+y等于（ ）.
（A）3 （B）13 （C）1?132 （D）4?13 答：选（D）
将y?3?x代入xy?x3?0，得x3?x2?3x?0.
（1）当x>0时，x3?x2?3x?0，方程x2?x?3?0无实根；
（2）当x<0时，x3?x2?3x?0，得方程x2?x?3?0
解得x?1?132，正根舍去，从而x?1?132. 于是y?3?x?3?1?132?7?132. 故x?y?4?13.
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距离之比为等于
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因此，结论（D）是在正确的.
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，?BAD?60?，?EDC? （度）. 答：30°
解：设?CAD?2?，由AB=AC知
则
1(180??60??2?)?60???， 2?ADB?180???B?60??60???， 由AD=AE知，?ADE?90???，
所以?EDC?180???ADE??ADB?30?. ?B?间的距离d（单位：km）有T? （第6题图） 7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市
kmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所2d示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t表示）. 答：
t 250?80k，
1602解：据题意，有t?∴k?32t. 5 数为
因此，B、C两个城市间每天的电话通话次
80?10032t5t. ???（第7题图） 5642320222228．已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2，ax?by?5，则(a?b)xy?ab(x?y)? . 答：?5
解：由a?b?x?y?2，得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4， ∵ ax?by?5， ∴ ay?bx??1.
2222因而，(a?b)xy?ab(x?y)?(ay?bx)(ax?by)??5. 9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，?D?90?，
为 . BC=CD=12, ?ABE?45?，若AE=10，则CE的长TBC?k?答：4或6
解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又?CBE??GBM， ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.
∴ BM=BE，?ABE??ABM?45?， ∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10. 设CE=x，则AG=10?x，AD=12?(10?x)?2?x，DE=在Rt△ADE中，AE?AD?DE， ∴ 100?(x?2)?(12?x)，
即x?10x?24?0， 解之，得x1?4，x2?6. 故CE的长为4或6.
10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 . 答：
2垂足.易知四边形
（第9题图） 12?x.
2222213 327
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解：∵ x?y?5?z，xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z?5z?3， ∴ x、y是关于t的一元二次方程
2t2?(5?z)t?z2?5z?3?0
的两实根.
∵ ??(5?z)?4(z?5z?3)?0，即
223z2?10z?13?0，(3z?13)(z?1)?0.
13113∴ z?，当x?y?时，z?.
33313故z的最大值为.
3三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当0?x?10时，图象是抛物线的一部分，当10?x?20和20?x?40时，图象是线段.
（1）当0?x?10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
2解：（1）当0?x?10时，设抛物线的函数关系式为y?ax?bx?c，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?124解得，a??，b?，c?20.
55所以
（第11（A）题图） 124y??x2?x?20550?x?10. …………………（5分）
7（2）当20?x?40时，y??x?76.
5所以，当0?x?10时，令y=36，得36??解得x=4，x?20（舍去）；
当20?x?40时，令 y=36，得36??，
1224x?x?20， 557x?76，解得 52004?28. ……………………（10分） 7744因为28?4?24?24，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛
77x?题. ……………………（15分）
12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组
?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式.
32解：将y?ax?b代入y?x?ax?bx，消去a、b，得
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y?x?xy， ………………………（5分）
3(x?1)y?x3.
若x+1=0，即x??1，则上式左边为0，右边为?1不可能. 所以x+1≠0，于是
x31y??x2?x?1?.
x?1x?1因为x、y都是整数，所以x?1??1，即x??2或x?0，进而y=8或y?0. 故
?x??2?x?0 ? 或 ? ………………………（10分）
?y?8?y?0?x??2当?时，代入y?ax?b得，2a?b?8?0；
y?8??x?0当?时，代入y?ax?b得，b?0. ?y?0综上所述，a、b满足关系式是2a?b?8?0，或者b?0，a是任意实数.
………………………（15分）
13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得?ADP??ACB，求值.
解：连结AP，则?APB??ACB??ADP，
所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分）
PB的PDABAP， ?APAD所以AP2?AB?AD?3AD2，
∴AP?3AD， …………………………（10分）
PBAP所以??3. …………………………（15分）
PDAD∴
14．已知a?0，b?0，c?0，且b?4ac?b?2ac，求的最小值.
解：令y?ax?bx?c，由a?0，b?0，c?0，判别式所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛??b2?4ac?0，
cB(x2,0)，且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，因为x1x2??0，abx1?x2，则x1?0?x2，对称轴x???0，于是
2a2（第13（A）题图） 2 b2?4ac物线，不妨设
（第14（A）题图） ?b?b2?4acb?b2?4acx1???c， ………………（5分）
2a2a4ac?b2b?b2?4acb2?4ac?c???所以， …………………（10分） 4a2a2a2故b?4ac?4，
当a??1，b=0，c=1时，等号成立.
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所以，b2?4ac的最小值为4. ………………………（15分）
2005年全国初中数学竞赛试卷
题号 得分 一 1~5 二 6~10 三 11 12 13 14 总分 一、选择题(满分30分) 1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )
EB(E)DDB(E)D AAA
G CBFFCFCA.2 B.3 C.4 D.5 图a图c图b
2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设A?48?(11??32?442?41)，则与A最接近的正整数是( )
1002?41的函数值中整数的个数是( ) 2A.18 B.20 C.24 D.25
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y?x2?x?A.59 B.120 C.118 D.60
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。
7.在直角坐标系中，抛物线y?x2?mx?OA，OB，且满足
32m(m?0)与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为4112??，则m=_____. OBOA3
8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________
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9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQRC的面积与△ABC的面积的比是________
DE10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…+x19=59，
Px12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于
_________。
三、解答题、(满分60分)
B11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人A(不包括司
QR机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。
12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1)
BPNQ? (2) ①△KPM∽△MPBQNQK C A D
PQ
B NM
第14题图
13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0 至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).
14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a, 31 才哥数学481659882 2006年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)=8，则a的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则（A）23?1 （B）23 （C）3?222QC的值为（ ） QAD C 2 （D）3?2 O 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a A D a?c的值 bP A B G （第5题图） 等于 ． 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． C B E F 9．已知0 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x? ??1??2?29??（第 ?107a题图）?的值等于?a????a??18，则?????30??30?30??b a，，（即a，且它们的最大公约数为1），且a≤8，2?1?x?3?1． b为互质的正整数b是正整数，a 试写出一个满足条件的x； 求所有满足条件的x． 12．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式 32 才哥数学481659882 b2?c2?2a2?16a?14 ① bc?a2?4a?5 ② 求a的取值范围． 13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB． P K E B A O 14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值． C （第13题） 参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一 33 才哥数学481659882 个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C． 解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 故选C． 2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)=8，则a的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C． 解：由已知可得m2?2m?1，n2?2n?1．又 22(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=－9 故选C． 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1 解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为 （－a，a2），由勾股定理，得AC?(c?a)?(c?a)， 222222BC2?(c?a)2?(c2?a2)2， AC2?BC2?AB2 所以 (a?c)?a?c． 由于a2?c2，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1 故选B． 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B． 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°． 因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005． 当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58=2005（刀）． 故选B． 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则（A）23?1 （B）23 （C）3?22222QC的值为（ ） QAD O Q A D P （第5题图） C 2 （D）3?2 答：D． 解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m， QA=r－m． 在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD． B C O r2?m2即 (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 QD=． m连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2， 34 Q A B P 才哥数学481659882 ?r2?m2即 ??m?所以， ?322?m?r ， 解得?r?m?3?2QCr?m3?1???3?2 QAr?m3?1故选D． 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a 解：由a?b?2006，c?a?2005，得 a?b?c?a?4011． 因为a?b?2006，a 7．如图，面积为ab?c的正方形DEFG内接于 面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数， 且b不能被任何质数的平方整除，则等于 ． 答：?A a?c的值 bD G E F 47题图） 2（第 解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则m?， 33m?xx由△ADG∽△ABC，可得?2， 解得x?(23?3)m m3m2222于是 x?(23?3)m?283?48， a?c20由题意，a?28，b?3，c?48，所以??． b320． 3B C 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 答：104． 解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)>400， 400x=368x50400?13?104． 501??2?29????a????a??18，则?10a?的值等于 ．(?x?表示9．已知0 答：6． 解：因为0 30??30?30?303030??知，其中有18个等于1，所以 1??2?11?12??13?29?????a??a????a?a??a????a?=0，=1， ????????????303030303030????????????1112所以 0?a?＜2． ?1，1≤a?3030 35 才哥数学481659882 故18≤30a＜19，于是6≤10 a＜ 19，所以?10a?=6． 310．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 答：282500． 解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a8bcdef．根据题意，有81×abcdef=2a8bcdef． 记x?b?10?c?10?d?10?e?10?f，于是 81?a?105?81x?208?105?a?106?x， 解得x=1250×(208－71a) ． 因为0≤x＜105，所以0≤1250×(208－71a)＜105，故 432128208． ?a≤ 7171 因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500． 所以，小明家原来的电话号码为282500． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x?ba，，（即a，且它们的最大公约数为1），且a≤8，2?1?x?3?1． b为互质的正整数b是正整数，a（1）试写出一个满足条件的x； （2）求所有满足条件的x． 1满足条件． ……………5分 2b （2）因为x?，a，为互质的正整数，且a≤8，所以 ab2?1??3?1， 即 (2?1)a?b?(3?1)a． a当a=1时，(2?1)?1?b?(3?1)?1，这样的正整数b不存在． 1当a=2时，(2?1)?2?b?(3?1)?2，故b=1，此时x?． 22 当a=3时，(2?1)?3?b?(3?1)?3，故b=2，此时x?． 3 当a=4时，(2?1)?4?b?(3?1)?4，与a互质的正整数b不存在． 3 当a=5时，(2?1)?5?b?(3?1)?5，故b=3，此时x?． 5 当a=6时，(2?1)?6?b?(3?1)?6，与a互质的正整数b不存在． 345当a=7时，(2?1)?7?b?(3?1)?7，故b=3，4，5此时x?，，． 7775当a=8时，(2?1)?8?b?(3?1)?8，故b=5，此时x? 81233455所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．………………15分 235777812．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式 b2?c2?2a2?16a?14 ① bc?a2?4a?5 ② 解：（1）x?求a的取值范围． 解法一：由①－2×②得(b?c)?24(a?1)?0，所以a>－1． 222当a>－1时， b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0．………………10分 2 36 才哥数学481659882 又当a?b时，由①，②得 c2?a2?16a?14， ③ ac?a2?4a?5 ④ 将④两边平方，结合③得a(a?16a?14)?(a?4a?5) 化简得 24a3?8a2?40a?25?0， 故 (6a?5)(4a?2a?5)?0， 解得a??222221?215，或a?． 461?215，a?．………………………15分 462222解法二：因为b?c?2a?16a?14，bc?a?4a?5，所以 (b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)?4a2?8a?4?4(a?1)2， 所以 b?c??2(a?1)． 又bc?a2?4a?5，所以b，c为一元二次方程 x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤ 所以，a的取值范围为a>－1且a?? 的两个不相等实数根，故??4(a?1)?4(a?4a?5)?0，所以a>－1． 当a>－1时， b2?c2?2a2?16a?14=2(a?1)(a?7)?0．………………10分 另外，当a?b时，由⑤式有 a?2(a?1)a?a?4a?5?0， 即 4a2?2a?5?0 或 ?6a?5?0，解得，a?当a?c时，同理可得a??22221?215或a??． 461?215或a?． 461?215所以，a的取值范围为a>－1且a??，a?．………………………15分 46 13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB． 证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线， 所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是 △KPE∽△KAP， KPKE2所以 ， 即 KP?KE?KA． ?KAKP2 由切割线定理得 KB?KE?KA 所以 KP?KB． …………………………10分 因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是 P K E B 即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15A 分 14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值． O 解：设10个学生为S1，S2，…，S10，n个课外小组G1，G2，…，Gn． 首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………………………5分 C 37 PEKPPEKB 故 ， ??CEACCEAC（第13题） 才哥数学481659882 若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S1恰好参加G1，G2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S1没有同过组，矛盾． 所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组G1，G2，…，Gn的人数之和不小于3×10=30． 另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组G1，G2，…，Gn的人数不超过5n， 故 5n≥30， 所以n≥6． ……………………………10分 下面构造一个例子说明n=6是可以的． G1??S1,S2,S3,S4,S5?，G2??S1,S2,S6,S7,S8?，G3??S1,S3,S6,S9,S10?， G4??S2,S4,S7,S9,S10?，G5??S3,S5,S7,S8,S9?，G6??S4,S5,S6,S8,S10?． 容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件． 所以，n的最小值为6． ……………………………15分 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯” 2007年全国初中数学竞赛试题 参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） ??x?y?12,??x?y?6的解的个数为（ ） 1．方程组?． （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4 答：（A）． ??x?y?12,??x?y?6,于是y?y??6，显然不可能． 解：若x≥0，则????x?y?12,???x?y?6,x?0若 ，则 于是 y?y?18，解得y?9，进而求得x??3． ?x??3,?y?9,只有1个解． 所以，原方程组的解为?故选（A）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20 答：（B）． 解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B）． 3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）． 38 才哥数学481659882 （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）． 解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以?BAC，因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公 ?ABE均为锐角．又 共 弦 ， 所 以 ?BAC??ABE．于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC． ?BO1C?2?BACO若△ABC的外心为1，则，所以，⊙O一定过 故选（B）． 4．已知三个关于x的一元二次方程 222△ABC的外心． （第3题答案图） ax?bx?c?0，bx?cx?a?0，cx?ax?b?0 a2b2c2??bccaab的值为（ ）恰有一个公共实数根，则． （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 答：（D）． 解：设 2x0是它们的一个公共实数根，则 22ax0?bx0?c?0，bx0?cx0?a?0，cx0?ax0?b?0． 把上面三个式子相加，并整理得 2(a?b?c)(x0?x0?1)?0． 132x0?x0?1?(x0?)2??024因为，所以a?b?c?0． 于是 a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3????bccaababcabc ?3ab(a?b)??3abc． 故选（D）． 323x?6x?5x?y?y?2的整数解（x，y）的个数是（ ）5．方程． （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多 答：（A）． 解：原方程可化为 x(x?1)(x?2)?（3x2?x）?y(y?1)(y?1)?2， 因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解． 故选(A). 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC中，?ACB?90?，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ． 答：4． 解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而 S?BPO?11PO?CO??2?2?222． y?33(x?0)x的图象上，点B，D 39 （第6题答案图） 因此，这两部分面积之差的绝对值是4． 7．如图, 点A，C都在函数 都在轴 才哥数学481659882 上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ． 答：（26，0）． 解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝3a，CF＝3b，所以，点A，C的坐标为 （a，3a），（2a＋b，3b）， 2??3a?33,?（第7题答案图） 3b(2a?b)?33,?所以 ? 解得 ??a?3,???b?6?3, 因此，点D的坐标为（26，0）． 8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数点，则a的取值范围是 ． 答：?1≤ 解：分两种情况： y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交 a??12，或者a?3?23． （Ⅰ）因为二次函数0），所以 y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2， ?(a?3)?1?3?22?(a?3)?2?3?0， 1?1?a??2． 得 21?(a?3)?1?3?0，得a??1，此时x1?1，x2?3，符合题意； 由 13a??x2?22，不符合题意． 2，此时x1?2，由2?(a?3)?2?3?0，得 ?12???（Ⅱ）令 x2??a?3?x?3?0，由判别式??0，得a?3?23． x?x2??3，不合题意；当a?3?23时，x1?x2?3，符合题意． 当a?3?23时，112，或者a?3?23． 综上所述，a的取值范围是?1≤ 9．如图，?A??B??C??D??E??F??G?n?90?，则n＝ ． a?? 答：6． 解：如图，设AF与BG相交于点Q，则 ?AQG??A??D??G， 于是 ?A??B??C??D??E??F??G ??B??C??E??F??AQG ??B??C??E??F??BQF ?540??6?90?． 所以，n＝6． 10．已知对于任意正整数n，都有 （第9题答案图） a1?a2??an?n3， 40 才哥数学481659882 1则 a2?1?1a??1?3?1a100?1 ． 33答：100n． 解：当≥2时，有 a1?a2???an?1?an?n3， a31?a2??an?1?(n?1)， 两式相减，得 an?3n2?3n?1， 1?1111所以 an?13n(n?1)?3(n?1?n), n?2,3,4,? 11因此 a2?1?a1??13?a100?1 ?13(1?11112)?3(2?3)??13(199?1100) ?11333(1?100)?100． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） y?1211（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线4x上的一个动点． （1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1的位置关系； y?12（2）设直线PM与抛物线4x的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：?PNM??QNM． (x12解：（1）设点P的坐标为0,4x0)，则 x212122?1x2PM＝0?(4x0?1)2?(4x0?1)40?1; 1x212又因为点P到直线y??10?(?1)?x的距离为440?1， 所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1相切． …………5分 （2）如图，分别过点P，Q作直线y??1的垂线，垂足分别为H，知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR． 因为PH，MN，QR都垂直于直线y??1，所以，PH∥MN∥QR， QMMP RN?NH， （第11A题答案图） QR?PH所以 RNHN， 因此，Rt△PHN∽Rt△QRN． 于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM． …………15分 x2?abx?1(a?b)?012（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程2是 41 R．由（1）于是 才哥数学481659882 否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明. 解：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为?x1?x2?ab,??1x1x2?(a?b),?2? x1,x2x1( ≤ x2)，则有 11x1x2?x1?x2?a?b?ab22所以 ， 4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5. …………5分 因为a,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是， x1?1≥0, x2?1≥0，2a?1≥1,2b?1≥1，所以 （?x1?1)(x2?1)?1,?(x1?1)(x2?1)?0,??(2a?1)(2b?1)?1.(2a?1)(2b?1)?5, ? 或 ? ?(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5 （1）当?时，由于a,b都是正整数，且a≤b，可得 a＝1，b＝3， 2此时，一元二次方程为x?3x?2?0，它的两个根为x1?1，x2?2． （2）当 a＝1，b＝1， ?(x1?1)(x2?1)?1,??(2a?1)(2b?1)?1时，可得 2此时，一元二次方程为x?x?1?0，它无整数解. 综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x1?1，x2?2． ……………15分 13（A）．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切． 证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为E,F，则CE∥DF． 因为AB是⊙O的直径，所以 （第13A题答案图） ?ACB??ADB?90?． 在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得 PA2?AC2?AE?AB， PB2?BD2?BF?AB． ……………5分 两式相减可得 PA2?PB2?AB?AE?BF?， ， 又 于是有 AE?BF?PA?PB， PA2?PB2?(PA?PB)(PA?PB)?AB?PA?PB?即 PA?AE?PB?BF， 所以PE?PF，也就是说，点P是线段EF的中点． 因此，MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP?AB，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切． ……………15分 14（A）．（1）是否存在正整数m，n，使得m(m?2)?n(n?1)？ 42 才哥数学481659882 （2）设k(k≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得 m(m?k)?n(n?1)？ 解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得m(m?2)?n(n?1)，则 (m?1)2?n2?n?1， 显然n?1，于是 n2?n2?n?1?(n?1)2， 2所以，n?n?1不是平方数，矛盾． ……………5分 （2）当k?3时，若存在正整数m，n，满足m(m?3)?n(n?1)，则 4m2?12m?4n2?4n， (2m?3)2?(2n?1)2?8， (2m?3?2n?1)(2m?3?2n?1)?8， (m?n?1)(m?n?2)?2， 而m?n?2?2，故上式不可能成立． ………………10分 当k≥4时，若k?2t（t是不小于2的整数）为偶数，取 m?t2?t,n?t2?1， 2242m(m?k)?(t?t)(t?t)?t?t则 ， 2242n(n?1)?(t?1)t?t?t ， 因此这样的（m，n）满足条件． 若k?2t＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取 t2?tt2?t?2m?,n?22， t2?tt2?t1m(m?k)?(?2t?1)?(t4?2t3?t2?2t)224则 ， t2?t?2t2?t14n(n?1)???(t?2t3?t2?2t)224 ， 因此这样的（m，n）满足条件． 综上所述，当k?3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的． ……………15分 注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的． 11（B）．已知抛物线 C1于A，B两点. 点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线 （1）求线段AB的长； （2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值． 解：（1）解方程组 2??y??x?3x?4,?2??y?x?3x?4, 43 2C2y?x2?3x?4y??x?3x?4：和抛物线：相交 C2C1上，也位于点A和点B之间. 才哥数学481659882 ?x1??2,?x2?2,??y?6,y??6,得 ?1 ?2 所以，点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）． 于是 AB?(2?2)2?(?6?6)2?410． …………5分 （2）如图，当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为 (t,?t2?3t?4)， (t,t2?3t?4)， ?2?t?2， 2?2(4?t)≤8， 因此 PQ 当t?0时等号成立，所以，PQ的长的最大值8． ……………15分 12（B）．实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab?bc?ca?0，abc＝1．求最使得不等式 ≥ 恒成立． （第11B题答案图） 大的实数k， a?bkc 3解：当a?b??2， ……………5分 下面证明：不等式 3c?22时，实数a，b，c满足题设条件，此时k≤4． 对满足题设条件的实数a，b，c恒成立． a?b≥ 4c由已知条件知，a，b，c都不等于0，且c?0．因为 11?0,a?b??2?0cc， 所以a≤b?0． ab?由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程 x2?的两个实数根，于是 11x??0c2c ??14?4cc≥0， 13所以 c≤4． ……………10分 因此 a?b??(a?b)? ……………15分 1c2≥4c?4c． DEAD?CFBC．若CD，FE的延长13（B）．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足 线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证： ADPD?BCPC； （1） （2）△PAB∽△PDC． 44 才哥数学481659882 证明：（1）连接PE，PF，PG，因为?PDG??PEG，所以 ?PDC??PEF． 又因为?PCG??PFG，所以 △PDC∽△PEF， PDPE?,?CPD??FPEPCPF于是有 ， 从而 △PDE∽△PCF， PDDE?所以 PCCF． DEADADPD??CFBCBCPC． 又已知，所以， ………………10分 （第13B题答案图） （2）由于?PDA??PGE??PCB，结合（1）知，△PDA∽△PCB，从而有 PAPD?,PBPC ?DPA??CPB， 所以?APB??DPC，因此 △PAB∽△PDC． ………………15分 14（B）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足 u1?5?2． 1≤v证明：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设a?b?c．若结论不成立，则必有 a1?5b≥2， ○1 b1?5c≥2． ○2 ………………5分 记b?c?s,a?b?t?c?s?t，显然s,t?0，代入○1得 c?s?t1?5c?s≥2， st1??cc1?5s1?c≥2， stx?,y?cc，则 令 1?x?y1?51?x≥2． ○3 由a?b?c，得c?s?t?c?s?c，即t?c，于是由○2得 y?t?1c． 1?5bc?s??1?xcc≥2， ○4 45 才哥数学481659882 由○3，○4得 ?1?5?5?11?5???1?2?1??(1?x)y≥??2≥2， 此式与y?1矛盾．从而命题得证． ………………15分 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯” 2008年全国初中数学竞赛试题 班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分） 424 1．已知实数x，y满足：－＝3，y4＋y2＝3，则＋y4的值为 （ ） x4x2x4 1＋137＋13 （A）7 （B） （C） （D）5 22 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 （ ） 54171（A） （B） （C） （D） 129362 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ） （A）6条 （B）8条 （C）10条 （D）12 4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 （ ） 53 （A）a （B）1 （C） （D）a 22 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ） （A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 1 6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－有两个不同的实数根，则 4 满足条件的实数a的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线， AMF∥AD，则FC的长为______． F9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与 AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______． 10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________． BC三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） DM11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值． 46 才哥数学481659882 12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？ 13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论． 14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值． 简答： 选择题 ACBBD； 16 填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9. ； 10. x＝48， x ＝160， 3 y＝32； y＝32． 2b－b2 三．解答题：11. （1）k＝，b ＞ 2； （2）当 b＝2＋10， k＝－1时，△OAB面积的最小值为7＋210； 2(b＋3) 1 12. 存在满足题设条件的质数p，q. 当p＝2，q＝5时，方程2x2－5x＋ 2＝0 的两根为 x1＝， x2＝2. 它们都是 2 有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC的边 a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略． 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯” 2009年全国初中数学竞赛试题 参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足 2a?4?b?2?(a?3)b?4?2a，则a?b等于（ ）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C． 247 才哥数学481659882 解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b?2?(a?3)b?0，于是a?3，b??2，从而a?b＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB则a等于（ ）． （A）＝OC＝OD＝1， 25?15?1 （B） （C）1 （D）2 22（第2题） 【答】A． 解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 BOBC，即 ?ABAC1a， ?aa?1所以， a2?a?1?0． 1?5由a?0，解得a?． 23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组?解的概率为（ ）． （A） ?ax?by?3， 只有正数 ?x?2y?212513 （B） （C） （D） 1291836 【答】D． 解：当2a?b?0时，方程组无解． 6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时，方程组的解为? 2a?3?y?.?2a?b??2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知，得?即?a?,或?a?, 2a?322???0,?????2a?b?b?3,?b?3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 3，4，5，6，?a?2，?a?1，共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． ??2，5，6，?b?1，?b?4，13又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 364．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，?B?90?. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 图2 【答】B． 图1 （第4题） 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故 S△ABC＝ 1×8×4＝16. 248 才哥数学481659882 5．关于x，y的方程x?xy?2y?29的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C． 解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 x?yx?(2y?29)?0． 由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数． 由 ??y?4(2y?29)??7y?116≥0， 2222222116?16.57．于是 70 1 4 y2 116 109 88 ? 2显然，只有y?16时，??4是完全平方数，符合要求． 当y?4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x1??1,x2??3； 解得 y≤ 29 53 16 4 当y＝－4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x3?1,x4?3． 所以，原方程的整数解为 ?x1??1, ?y?4;?1?x2??3, ?y?4;?2?x3?1, ?y??4;?3?x4?3, ?y??4.?4二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 【答】3750． 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为 kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后50003000走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 ky?kx??k,??50003000 ?kykx???k,??50003000k(x?y)k(x?y)??2k， 500030002则 x?y??3750． 11?50003000两式相加，得 7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC； AH再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ． AB解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知AC?11AD，AB?AE，在△FHA和△EFA中， 33?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF 所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， AHAF? . AFAE 49 才哥数学481659882 AH1?. （第7题） AB3，a，a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数，若b是关于x的方程8．已知a1，a2，a34而AF?AB，所以 ?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则b的值为 ． 【答】 10． 解：因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4a，??b?a?5?2009，且a1，a2，a，34a5是五个不同的整数，所有 b?a，b?，ab?，a1，b?a234b?也是五个不同的整数． 5a又因为2009?1???1??7???7??41，所以 b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41． 由a1?a2?a3?a4?a5?9，可得b?10． 9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为?ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ． 【答】602． 7解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且?ACB?90?． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由?ECF?1?ACB?45?，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 2EFBF， ?ACBCx20?x即 ， ?152060260解得x?．所以CE?2x?． 77 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里 好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数 【答】?2． 解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x，报9的人心16?(4?x)?12?x，报1的人心里想的数是 的人心里想的数是4?(8?x)??4?x．所以 x??4?x， 解得x??2． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） （第9题） 都想好一个数，并把自己想 个人告诉他的数的平均数是 ． 应是8?x． 里想的 （第10题） 是 报320?(12?x)?8?x， 数 11．已知抛物线y?x与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1)，(x2,y2)， 且x1?x2?t?2t?3. （1）求实数t的取值范围； （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：（1）联立y?x与y?(2t?1)x?c，消去y得二次方程 22222x2?(2t?1)x?c?0 ① 有实数根x1，x2，则x1?x2?2t?1, c?x1x2?x1x2?c．所以 12[(x1?x2)2?(x12?x2)] 211=[(2t?1)2?(t2?2t?3)]＝(3t2?6t?4)． ② 22 ………………5分 50 才哥数学481659882 把②式代入方程①得 1x2?(2t?1)x?(3t2?6t?4)?0． ③ 2 ………………10分 t的取值应满足 2t2?2t?3?x12?x2≥0， ④ 且使方程③有实数根，即 ??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)＝?2t2?8t?7≥0， ⑤ 解不等式④得 t≤-3或t≥1，解不等式⑤得 2?所以，t的取值范围为 22≤t≤2?. 222?22≤t≤2?. ⑥ 22………………15分 1231(3t?6t?4)?(t?1)2?. 22222231由于c?(t?1)2?在2?≤t≤2?时是递增的，所以，当t?2? 2222232111?62?1)2??时,cmin?(2?. ………………20分 2224312．已知正整数a满足192a?191，且a?2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和． (2) 由②式知c?解：由192a?191可得192a?1．192?3?26，且 33a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1)． ………………5分 因为a?a?1??1是奇数，所以26a3?1等价于26a?1，又因为3(a?1)a(a?1)，所以3a?1等价于3a?1．因 3此有192a?1，于是可得a?192k?1． ………………15分 又0?a?2009，所以k?01，，，10．因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为 11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 13．如图，给定锐角三角形ABC，BC?CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论． 解法1：结论是DF?EG．下面给出证明． ………………5分 因为?FCD??EAB，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得 DF?BE?CD． ABCE． AB（第13A题） 同理可得 EG?AD? ………………10分 又因为tan?ACB?ADBE，所以有BE?CD?AD?CE，于是?CDCE可得 DF?EG． ………………20分 解法2：结论是DF?EG．下面给出证明． ……………… 5分 连接DE，因为?ADB??AEB?90?，所以A，B，D，E四点共圆，?CED??ABC． ………………10分 又l是⊙O的过点C的切线，所以?ACG??ABC． ……………… 51 故 （第13A题） 15分 才哥数学481659882 所以，?CED??ACG，于是DE∥FG，故DF＝EG． ………………20分 14．n个正整数a1，a2，，an满足如下条件：1?a1?a2??an?2009； 且a1，a2，，an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值． 解：设a1，a2，，an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数bi，i?1，2，，n．即 (a1?a2??an)?ai． n?1于是，对于任意的1≤i?j≤n，都有 a?aibi?bj?j， n?1从而 n?1(aj?ai)． ………………5分 bi?an?a12008是正整数，故 ?n?1n?1 n?123?251． ………………10分 由于 b1?bn?由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?? 2??a2?a1? ≥?n?1???n?1????n?1??(n?1)2， 所以，(n?1)≤2008，于是n ≤45. 结合n?123?251，所以，n ≤9． ………………15分 另一方面，令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1，…，a8?8?7?1， a9?8?251?1，则这9个数满足题设要求． 综上所述，n的最大值为9. ………………20分 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯” 2010年全国初中数学竞赛试题 参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） aba?b的值为（ ）． ?20， ?10，则 bcb?c1101121210（A） （B） （C） （D） 21211111a?1a?bb20?1210解：D 由题设得． ???c1b?c1?111?b101．若 代数式变形，同除b 1． a?ab?b2?2?0，则a的取值范围是 （ ） 2（A）a??2 （B）a?4 （C）a≤?2或 a≥4 （D）?2≤a≤4 2．若实数a，b满足 52 才哥数学481659882 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2?ab?1a?2?0 2的判别式 ?＝(?a)2?4?1?(a?2)≥0,解得a≤?2或 a≥4． 方程思想，未达定理；要解一元二次不等式 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=4?22，CD＝42，则AD边的长为（ ）． （A）26 （B）46 （第3题） 12（C）4?6 （D）2?26 解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足由已知可得 BE=AE=6，CF＝22，DF＝26， 于是 EF＝4＋6． 过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾 222AD?(4?6)?(6)?(2?24)＝2?26． 分别为E，F． （第3题） 股定理得 勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法 4．在一列数x1，x2，x3，……中，已知x1?1，且当k≥2时，xk?xk?1?1?4????k?1??k?2?? ???????4??4??（取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2，?0.2??0），则x2010等于（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由x1?1和xk?xk?1?1?4????k?1??k?2??可得 ???????4??4??x1?1，x2?2，x3?3，x4?4， x5?1，x6?2，x7?3，x8?4， …… 因为2010=4×502+2，所以x2010=2． 高斯函数；找规律。 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，?2） （C）（2012，?2） （D）（0，2） （第5题） ． 解：B由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，?2） （ b2)，其中a2?2,b2??2． 记P2a2，根据对称关系，依次可以求得： P3(?4?a2，－2－b2)，P4(2?a2，4?b2)，P5(?a2，?2?b2)， 令P6(a6,b2)，同样可以求得，点P，即P， 10的坐标为（4?a6,b2）10（4?2?a2,b2）由于2010=4?502+2，所以点P2010的坐标为（2010，?2）． 二、填空题 6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 解：0 53 P6(4?a2，b2)． 才哥数学481659882 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是 2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得 10?a?b??S， ① 15?a?c??2S， ② x?b?c??S． ③ 由①②，得30． （b?c）?S，所以，x=30． 故 t?30?10?5?15（分） 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． 解：y??111x+ 33（第8题） 且相交于点N． 如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF， （第8题 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线MN即为所求的直线l． ?2k+b?3，设直线l的函数表达式为y?kx?b，则? 5k?b?2，?1?k??，?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+． 33?b?11.?3?9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 AE? ． AD5?1 2见题图，设FC?m,AF?n． 解： 2因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 AB?AF?AC． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 m?n(n?m)，即 (2n2n， )??1?0mm（第9题） n5?1n?5?1解得?，或?（舍去）． m2m2AEAEAFn又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以????ADBCFCm 54 5?15?1AE， 即=． 22AD 才哥数学481659882 10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值n0满足2000?n0?3000，则正整数k的最小值为 ． 解：9 因为n?1为2，， 3 ，k的倍数，所以n的最小值n0满足 n0?1??2，， 3 ，k?， 其中?2，， 3 ，k的最小公倍数． 3 ，k?表示2，，由于?2，， 3 ， 8??840， 3 ， 9??2520， ?2，， 3 ?2，，， 10??2520， 3 ， 11??27720， ?2，，因此满足2000?n0?3000的正整数k的最小值为9． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tan?PAD?EF． BC 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则 ?AEF??ABC??ACB??AFD， 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF （第11题） 以 （第11题） 可得 EFAH， ?BCAPEFPD， ?BCAPPDEF所以 tan?PAD?. …………（20分） ?APBC从而 12．如图，抛物线y?ax?bx（a?0）与双曲线y?2k相交于x点A，B. 已知点（O为坐标原 A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3 点）. （1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，EOC∽△AOB的点E的坐标. 55 求所有满足△ 才哥数学481659882 k（第12题） 上， x4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?. x4设点B（t，），t?0，AB所在直线的函数表达式为y?mx?n，则有 t?4?m?n，44(t?1)? 解得m??，n?. ?4tt?mt?n，??t解：（1）因为点A（1，4）在双曲线y?于是，直线AB与y轴的交点坐标为?0,??4(t?1)??，故 t?1（4t?1）S?AOB???1?t??3，整理得2t2?3t?2?0， 2t1解得t??2，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（?2，?2）． 2因为点A，B都在抛物线y?ax?bx（a?0）上，所以得? 2?a?b?4， 解?4a?2b??2，??a?1， …………（10分） ?b?3. 42. 又BO=22， （2）如图，因为AC∥x轴，所以C（?4，4），于是CO＝ CO?2. BO2设抛物线y?ax?bx（a?0）与x轴负半轴相交于点D， 则 所以 0）. 因为∠COD＝∠BOD＝45?，所以∠COB=90?. （i）将△BOA绕点O顺时针旋转90?，得到△B?OA1.这时，的中点，点A1的坐标为（4，?1）. 延长OA1到点E1，使得OE1=2OA1，这时点E1（8，?2）是符合条件的点. 点D的坐标为（?3， （第12题） 点B?(?2，2)是CO （ii）作△BOA关于x轴的对称图形△B?OA2，得到点A2（1，?4）；延长OA2到点E2，使得OE2＝2OA2，这时点E２（2，?8）是符合条件的点． 所以，点E的坐标是（8，?2），或（2，?8）. …………（20分） 22 13．求满足2p?p?8?m?2m的所有素数p和正整数m. ．解：由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2)， 所以p(m?4)(m?2)，由于p是素数，故p(m?4)，或p(m?2). ……（5分） （1）若p(m?4)，令m?4?kp，k是正整数，于是m?2?kp， 3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2， 故k2?3，从而k?1. 所以??m?4?p，?p?5，解得? …………（10分） ?m?2?2p?1，?m?9.（2）若p(m?2)，令m?2?kp，k是正整数. 56 才哥数学481659882 当p?5时，有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1)， 3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k(k?1)p2， 故k(k?1)?3，从而k?1，或2. 由于p(2p?1)?(m?4)(m?2)是奇数，所以k?2，从而k?1. ?m?4?2p?1， 于是? m?2?p，?这不可能. 当p?5时，m2?2m?63，m?9；当p?3，m2?2m?29，无正整数解；当p?2时，m2?2m?18，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分） 14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ 解：首先，如下61个数：11，11?33，11?2?33，…，11?60?33（即1991）满足题设条件. …………（5分） 另一方面，设a1?a2??an是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为 33(ai?ak?am)， 33a(j?ak?am，) 所以 33(aj?ai). 因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设ai?a1?33di，i=1，2，3，…，n. 由33(a1?a2?a3)，得33(3a1?33d2?33d3)， 所以333a1，11a1，即a1≥11. …………（15分） dn?an?a12010?11≤?61， 3333故dn≤60. 所以，n≤61. 综上所述，n的最大值为61. …………（20分） 2011年全国初中数学竞赛试题 及答案 题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 三 11 12 13 14 总 分 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 21．设a?7?1，则代数式a?2a?12的值为( ). 57 才哥数学481659882 （A）-6 （B）24 （C）47?10 （D）47?12 y?2．在同一直角坐标系中，函数 kx（k?0）与y?kx?k（k?0）的图象大致是 （A） （B） （C） （D） 3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（ ） （A）1 （B）7 （C）10 （D）15 x?x3y，则x?y的值为( ). y911（A）1 （B）2 （C） （D） 224．若x?1，y?0，且满足xy?x，y 5．设S?111???132333?1，则4S的整数部分等于( ). 993（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 . 。 7．若关于x的方程(x?2)(x?4x?m)?0有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 . 8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 . 9．如图，点A，B为直线y?x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?点. 若BD?2AC，则4OC2?OD2 的值为 . （第9题） （第10题） 10．如图，在Rt内接于△ABC，且其三、解答题（共4题， 21（x＞0）于C，D两x△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF边长为12，则△ABC的周长为 . 每题20分，共80分） 11．已知：不论k取（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。 2212.已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值. 13．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y?（1）求证：∠ABP=∠ABQ； 58 2kx?ax?bk??136什么实数，关于x的方程 22x于P，Q两点. 3 才哥数学481659882 （2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式. （第13题） △ABC14如图，△ABC中，?BAC?60?，AB?2AC．点P在 内，且 PA?3，PB?5，PC?2，求△ABC的面积． 2011年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A 二、填空题 6. (a?1) 7．3＜m≤4. 8． 2（第14题） 1. 9．6. 10．84 9三、解答题 11. 解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a ?b?4?0?7?2a?0 要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有?a?解之得 12．解：设方程x2?ax?b?0的两个根为?，?，其中?，?为整数，且?≤?，则方程x2?cx?a?0的两根为??1，??1，由题意得 72，b??4 ?????a，???1????1??a， 两式相加得 ???2??2??1?0， 即 (??2)(??2)?3， ???2?1，???2??3，所以 ? 或? ??2?3；??2??1.??????1，????5， 解得 ? 或? ??1；???3.??又因为a?? 所以 （???），b???，c??（[??1）?（??1）]，a?0，b??1，c??2；或者a?8，b?15，c?6， 故a?b?c??3，或29. 13．解：（1）如图，分别过点P， Q作y轴的垂线，垂足分别为C， D. 设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）. 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,并设P，Q的坐标分别为 （xP，yP）, （xQ，yQ）.由 ?y?kx?t，?22 ?y?x，?3? 59 才哥数学481659882 22x?kx?t?0， 332于是 xPxQ??t，即 t??xPxQ. 2322222xP?txP?xPxQBCyP?t333??于是 ??BDyQ?t2x2?t2x2?2xxQPQQ333BCPCxPC???P，所以又因为. QDxQBDQD得 （第13题） 2xP(xP?xQ)x3??P. 2xQxQ(xQ?xP)3 因为∠BCP?∠BDQ?90?，所以△BCP∽△BDQ， 故∠ABP=∠ABQ. （2） 设PC?a，DQ?b，不妨设a≥b>0，由（1）可知 ∠ABP=∠ABQ?30?，BC=3a，BD=3b， 所以 AC=3a?2，AD=2?3b. 因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ. 于是 PCACa3a?2?，即?， b2?3bDQAD所以a?b?3ab． 32于是可求得a?2b?3. 将b?由（1）中xPxQ??t，即?ab??3333，，所以ab?，a?b? 2223123代入y?x2，得到点Q的坐标（，）. 22323. 再将点Q的坐标代入y?kx?1，求得k??3所以直线PQ的函数解析式为y??3x?1. 333x?1，或y?x?1. 33根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为y??14．解：如图，作△ABQ，使得 则△ABQ∽△ACP . ?QAB??PAC，?ABQ??ACP，由于AB?2AC，所以相似比为2. 于是 AQ?2AP?23，BQ?2CP?4． ?QAP??QAB??BAP??PAC??BAP??BAC?60?. 由AQ:AP?2:1知，?APQ?90?，于是PQ?3AP?3． 所以 BP?25?BQ?PQ，从而?BQP?90?． 于是 222（第14题） AB2?PQ2?(AP?BQ)2?28?83 . 故 S?ABC? 136?73AB?ACsin60??AB2?． 2822012年全国初中数学竞赛试题 （正题） 60 才哥数学481659882 题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 三 11 12 13 14 总 分 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式 （C） （D）a 可以化简为（ ）． （第1（甲）题） （A）（B） 1（乙）．如果（A） （B） ，那么 （C）2 （D） 的值为（ ）． 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B） （C） （D） ，AD = 3，BD = 5， 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．则CD的长为 （ ）． （第3（乙）题） （A） （B）4 （C） （D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程 （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）． 61 才哥数学481659882 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为（A） （B） （C） （D） 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 ，然后删 ，则 中最大的是（ ）． 5（乙）．黑板上写有 去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 . （第6（甲）题） 6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足为 ． 7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2则△DMN的面积是 . ，，那么的值 ，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N， （第7（甲）题） （第7（乙）题） 7（乙）．如图，分别交于 的半径为20，两点，则 是 上一点.以 为对角线作矩形 ，且 .延长 ，与 的值等于 ． 8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ． 8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 . 9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 . 9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称 是三角形数．若 和 均 为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 . 10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与 EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 . 62 才哥数学481659882 （第10（甲）题） 使得 成立，则这样的 的个数 10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对为 ． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11（甲）．已知二次函数 的两个实数根的倒数和小于 ，当．求 时，恒有 的取值范围． ；关于x的方程 11（乙）． 如图，在平面直角坐标系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=． CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式. （第11（乙）题） 12（甲）．如图，，且 的直径为．点 在 ，上，且 过点 ，且与 内切于点 ． 为 上的点， 与 交于点 ． ，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△ （第12（甲）题） 12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD. 63 才哥数学481659882 （第12（乙）题） 13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值. 13（乙）．凸 边形中最多有多少个内角等于 ？并说明理由 ，满足 ，且 （可以相同）使得 . ， 14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数 14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数求的最小值． 2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 一、选择题 1（甲）．C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ，且 所以 1（乙）．B ， ． 解： 2（甲）．D 解：由题设知， ， ，所以 . ． 解方程组得 所以另一个交点的坐标为（3，2）. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤因为均为整数，所以有 ≤2. 解得 以上共计9对3（甲）．D 解：由题设知， . ，所以这四个数据的平均数为 ， 中位数为 于是 ， . 64 才哥数学481659882 3（乙）．B 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. （第3（乙）题） 由于AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为在Rt△ 中， ，所以 . 于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元， 均为非负整数. 由题设可得 消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n = . 因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为的图象知，当 时， ，所以 ，即 ，故方程的根为一正一负．由二次函数 . 由于 都是正整数，所以 ，1≤q ≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意． 5（甲）．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以5（乙）．C ，因此 最大． 解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则 ， 解得 ，． 二、填空题 6（甲）．7＜x≤19 解：前四次操作的结果分别为 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487. 解得 7＜x≤19. 65 才哥数学481659882 容易验证，当7＜x≤19时，7＜x≤19． 6（乙）．7 解：由已知可得 ≤487 ≤487，故x的取值范围是 ． 7（甲）．8 解：连接DF，记正方形 ， 由此得 ，所以 . 的边长为2 . 由题设易知△ ∽△ ，所以 （第7（甲）题） 在Rt△ABF中，因为 ，所以 ， 于是 . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是 ， ， . 又因为7（乙）． ，所以 的中点为 ，所以. . 解：如图，设，连接， ，则．因为，所以 66 才哥数学481659882 ． （第7（乙）题） 所以 . 8（甲）． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4 由此得 (k－3)2≤0． ≥0， 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==8（乙）．1610 解：因为 ． =或 = 能被5整除，则 . 能被5整除； 能被5整除； 当被5除余数是1或4时，当被5除余数是2或3时，当被5除余数是0时， 能被5整除，则 不能被5整除. ． 所以符合题设要求的所有的个数为9（甲）．8 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 ， 由此得0≤b≤43. 又 0≤87≤由此得 当故 时，． ≤1 ，所以≤43， ≤130， ，或. ；当 时， . 于是 ，，不合题设. 9（乙）． 解：由题设得 67 才哥数学481659882 所以 即 整理得 . ， ， 由二次函数又因为 ≤1，所以 的图象及其性质，得 ≤1. . 10（甲）． 解：如图，连接AC，BD，OD. （第10（甲）题） 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 . 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△所以 ∽△ ，知 ，BA= ．因为AD ，故 ， . 10（乙）. 12 解：由已知有≤≤25． （Ⅰ）若 ，可得 ，且 为偶数，所以 同为偶数，于是 是4的倍数．设 ，则1 ，与b是正整数矛盾． 68 才哥数学481659882 （Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对 满足 满足 ． ；若恰是一个素数的 幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对（Ⅲ）若 是素数，或 恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足． 因为有唯一正整数对三、解答题 11（甲）．解： 因为当 ，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个． 时，恒有， ． 时，≤， ≤，即 ，所以 即，所以…………（5分） 当 时， ≤；当 且 解得≤． …………（10分） 设方程 ≤， 的两个实数根分别为． ，由一元二次方程根与系数的关系得 因为，所以 ， 解得，或． 因此． …………（20分） 11（乙）．解：因为sin∠ABC=AB = 10． 由勾股定理，得 BO= ，. ，所以 （第11（乙）题） 易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6. 于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）. 设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以 ， 69 才哥数学481659882 ， 解得n=－4. 因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）. …………（10分） 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为 . . 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 . …………（20分） 12（甲）． 证明：连接BD，因为三角形． 为 的直径，所以 ．又因为 ，所以△CBE是等腰 （第12（甲）题） …………（5分） 设 与 交于点 ，连接OM，则．又因为． ，所以 …………（15分） 又因为 分别是等腰△ ，等腰△ 的顶角，所以 △BOC∽△． …………（20分） 12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 （第12（乙）题） 所以 CI = CD． 同理， CI = CB. 故点C是△IBD的外心. 连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI. 故OI是△IBD外接圆的切线. 70 才哥数学481659882 …………（10分） （2） 如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F. 由，知OC⊥BD. 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以 Rt△BCF≌Rt△AIE， 所以BF = AE. 又因为I是△ABD的内心，所以 AB+AD－BD = 2AE = BD. 故AB+AD = 2BD． …………（20分） 13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. 因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分） 因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1. 解得 a ， . . 于是 = a－m …………（10分） 又a≥2012，即 ≥2012. =2025. . 又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥当时，，因此，a的最小值为2025. …………（20分） 13（乙）．解：假设凸（1）若，由…………（5分） （2）若当 ，且 ≥13，由边形中有 ， 个内角等于 ，得 ，则不等于的内角有个． ； ≤11． 个内角都等于 ，正十二边形的12个内角都等于 ，可得 ，即 ，其余． 时，存在凸边形，其中的11个内角等于 ， …………（10分） （3）若当 ，且≤ ≤ ． ．存在凸 ． 由≤可得…………（15分） （4）若 ，且3≤ ；由 ≤7，由（3）可知 ． ≤ ≥8可得 ．当 时，存在凸 ，且边形，其中 ． 个内角等于 ， 边形，其中的 个内角等于 ，另一个内角 时，设另一个角等于 另两个内角都等于 71 才哥数学481659882 综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11； 的最大值为 ． ，所以 当≤≤时，的最大值为…………（20分） 14（甲）．解：由于≥1， ≥2，…， ≥2012． ≤ ；当3≤≤7时， 都是正整数，且 于是 …………（10分） 当 时，令 . …………（15分） 当 时，其中≤ ≤ ． ，则 ，令 ，则 ． 综上，满足条件的所有正整数n为…………（20分） 14（乙）．解：当 时，把 和 在数组 ． 在数组 所以，≥． …………（10分） 下面证明当 时，满足题设条件． 不妨设2在第一组，若组， 在第二组． 中，由于 中，由于 ． 分成如下两个数组： ． ，所以其中不存在数 ，使得 ，所以其中不存在数，使得． 也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取 ，此时 综上， 满足题设条件． ． 所以，的最小值为…………（20分） 下载： ，此时；如果8在第二组，我们取 ． 72 才哥数学481659882 2013年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） ??a＋2b+3c＝0ab+bc+ca 1．设非零实数a，b，c，满足?则的值为（ ） a2+b2+c2?2a＋3b+4c＝0? 11 （A）— （B）0 （C） （D）1 22 2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次 11 方程中，以，为两个实根的是（ ） x12 x22 （A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0 3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC 4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 3x3y+3x2y2+xy3+45 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：x?y=， (x+1)3+(y+1)3—60 且x?y?z=（x?y）?z，则2013?2012?…?3?2的值为（ ） 6071821546316389 （A） （B） （C） （D） 967 967 967 967 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设a=33，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________． 7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________． 8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________． 9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠笔． C A A E E D A O B D （第3题) E D B C F C B （第4题) （第7题) 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA， 1 直线y=—x2+1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE． 3 y 73 D x 才哥数学481659882 12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数． 13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，x－y=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数． 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．【答案】A 【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故(a?b?c)?0．于是 21ab?bc?ca12． ab?bc?ca??(a2?b2?c)，所以??2a2?b2?c222．【答案】B 【解答】由于ax?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??2bc，x1x2?，且x1x2?0，aa11(x1?x2)2?2x1x2b2?2ac11a2所以c?0，且 2?2?，2?2?2， ?222x1x2x1x2cx1x2c11b2?2aca22x??0，即于是根据方程根与系数的关系，以2，2为两个实根的一元二次方程是x?2ccx1x22c2x2?(b2?2ac)x?a?0． 3．【答案】D 【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC ＝ AD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 2OD2DC·DODE?由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，都是有理数，OCOCAD·AB不一定是有理数． 4．【答案】C 【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 74 3题）（第（第3题答题） 而AC＝ （第题） （第44题答题） 才哥数学481659882 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积． 连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5．【答案】C 【解答】设2013?2012??4?m，则 3m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?2013?2012??4??3?m?3?3m?3m2?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012??3??2?9?2?． 103?33?60967 二、填空题 6．【答案】9 2 【解答】由于1?a?2?a?3，故b?a?2?239?2，因此(b?2)3?(39)3?9． 7．【答案】 204 13 【解答】如图，连接AF，则有： S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???， S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????， S?AEFS?AEFFES?BEF410896解得S?AEF?，S?AFD?． 1313204所以，四边形AEFD的面积是． 138．【答案】2013 22 【解答】由已知a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0消去c，并整理得 （第7题答题） ?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3． 22若a?1，则?b?8??59，无正整数解； 若a?2，则?b?8??40，无正整数解； 若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5． （i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013； （ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195． 综上知abc的最大值为2013． 9． 【答案】(1，?2，，1?2)，(t，，0?t，0)（t为任意实数） 2?a?b??c，??ab?d，【解答】由韦达定理得? c?d??a，???cd?b．由上式，可知b??a?c?d． db若b?d?0，则a??1，c??1，进而b?d??a?c??2． bd若b?d?0，则c??a，有(a，，，． bcd)?(t，，0?t，0)（t为任意实数）经检验，数组(1，?2，，1?2)与(t，，0?t，0)（t为任意实数）满足条件． 10．【答案】207 75 才哥数学481659882 【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则??4x?7y?2013， x?y?350，?2013?7yy?1， ?(503?2y)?44y?1于是是整数．又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y， 4所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141． 所以x? 三、解答题 11．如图，抛物线y?ax?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y??21x?1与y轴交于点D． 3C(0，?3)， 求∠DBC?∠CBE． 1x?1，y?ax2?bx?3知，D(0，1)，31所以B(3，0)，A(?1，0)．直线y??x?1过点B． 3将点C(0，?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3)，得a?1． 【解答】将x?0分别代入y?? 2抛物线y?x?2x?3的顶点为E(1，?4)．于是由勾股定理得 BC＝32，CE＝2，BE＝25． 因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，?BCE?90?． （第11题） OD1CE1=．又tan∠DBO=?，则∠DBO＝?CBE． OB3CB3所以，?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?． 因此tan?CBE= （第11题答题） 12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求?BAC所有可能的度数． 【解答】分三种情况讨论． （i）若△ABC为锐角三角形． 因为?BHC?180???A，?BOC?2?A， 所以由?BHC??BOC，可得180???A?2?A，于是?A?60?． （第12题答题（i）） （ii）若△钝角三角形． ABC为（第12题答题（ii）） 当时，因为?A?90??BHC?180???A，?BOC?2?180???A?， 所以由?BHC??BOC?180?，可得3?180???A??180?，于是?A?120?。 当?A?90?时，不妨假设?B?90?，因为?BHC??A，?BOC?2?A， 所以由?BHC??BOC?180?，可得3?A?180?，于是?A?60?． 76 才哥数学481659882 （iii）若△ABC为直角三角形． 当?A?90?时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以?A不可能等于90?； 当?A?90?时，不妨假设?B?90?，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此?A可以是满足0???A?90?的所有角． 综上可得，?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?． 13．设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当z2?y,否构成三角形的三边长？证明你的结论． 【解答】不能． x?y?2时，a，b，c能 111(y?z)，b?(x?z)，c?(x?y)． 222112z(z?1)2因为y?z，所以a?(y?z)?(z?z)?． 222又由于z为整数，a为素数，所以z?2或?3，a?3． 依题意，得a? 当z?2时，y?z2?4，x?(y?2)2?16．进而，b?9，c?10，与b，c是素数矛盾； 当z??3时，a?b?c?0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长． 14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数． 【解答】若n≤6，取m?1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10M?i)，7|(10M?j)．则有7|(j?i)，但0＜j?i≤6，矛盾． 故n≥7． k2，又当a1，a2，…，an为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则10i?m（i?1，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j(1≤i＜j≤7)，满足7|[(10j?m)?(10i?m)]，即 kk7|10k(j?i)，从而7|(j?i)，矛盾． 故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10i?m)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7． k2014年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00） 77 才哥数学481659882 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则为【 】 （A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0 【答】D． 解：最大的负整数是－1，∴=－1； 绝对值最小的有理数是0，∴=0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴=1. ∴ = =0. 的值 2. 已知实数满足则代数式 （D）7 的值是 【 】 （A） （B）3 （C） 【答】A． 解：两式相减得 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【 】 （A） （B） （C） （D） 【答】C． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合. 4. 已知二次函数示，则下列7个代数式 ， ， 的图象如图所， ， ，，中， 其值为正的式子的个数为 【 】 （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）4个以上 78 才哥数学481659882 【答】C． 解：由图象可得： ， ， ，∴ ， ，，即 . . =1的 抛物线与轴有两个交点，∴当 左边，即 ，∴ = 时， ，即 .当=1时， .从图象可得，抛物线对称轴在直线 .因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. （x>0）的图 5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【 】 （A）（C） 【答】B． （x<0） （B） （x<0） （D） （x<0） （x<0） 解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则 ，故. 6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分 别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【 】 （A）1 （B）2 （C）3 （D）6 【答】B． 解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形， ∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线, 79 才哥数学481659882 ∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知【答】解：∵ ． ，∴ ， ， ，化简 =2. 得 . 原式=. 8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为 【答】 解：设口袋中蓝色玻璃球有= 9. 若 【答】8． 解：∵ . ，则 = . ． ，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . 个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球） ，∴. 则，即.∴ 10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为 . 80 才哥数学481659882 【答】． 解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2， ∴AO=CO= ，BO=DO=4， = ∴阴影部分面积= ==. 11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= . 【答】． 解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x， 在Rt△A1BM中， ， ∴=，∴x =A1M=， ∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=. 12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为 . 【答】20． 解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53， ∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20. 三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分） 13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？ 解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支， 则有，. 易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ……………………………………4分 ∴ ，，即 81 . 才哥数学481659882 ∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14 ∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8分 ①当z为14时， ②当z为9时， =2，=26， =28. =18. . . ③当z为4时， =50，=8. . 综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分 如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6. （1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式； （2）若AE=2EB. ①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长； ②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.） 14、解：（1）在Rt 中， …………………………………………………………5分 （2）① ∽ ………………………7分 若⊙ 于 ，则可设 . 解得 若⊙ . 与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作 …………………10分 作 于 ，则可设 与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点 82 才哥数学481659882 解得 即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分 ②6个.………………………………………………………………………………………16分 15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点. （1）连接PA、PE，求证：PA=PE； （2）连接PC，若PC+PE=，试求AB的最大值； （3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围. 解：（1）证明：如图1，连接AE. 83 才哥数学481659882 …………………………………………………………5分 (2)∵PC+PE= ，∴PC+PA= . 显然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分 ， 在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB= ∴≤，∴≤2. 即AB的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三种情况讨论： ①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形. 过N作NF⊥x轴，垂足为F， ∵A点坐标为（1， ），∴ 可设N点坐标为（ ， ），则DF=a－m，NF= ，FC=4－a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN， ∴. 解得，，即当0<<时，△MNC为钝角三角形；…14分 ②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分 ③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形. 84 才哥数学481659882 ∴当 < <4时，△MNC为钝角三角形. 综上所述，当0< <或<<4时，△MNC为钝角三角形. …1 2015年全国初中数学竞赛预赛 85 才哥数学481659882 86 才哥数学481659882 87 才哥数学481659882 88 才哥数学481659882 89 才哥数学481659882 90 才哥数学481659882 91 才哥数学481659882 92 才哥数学481659882 93 才哥数学481659882 2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?部分，则 1，a是t的小数部分，b是?t的小数 2?311?? （ ） 2ba31 C. 1 D. 3 A. B. 22 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书 方案有 （ ） A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 332?1?(?1),26?33?3 1,26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 2和 （ ） A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 23(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a?b为整数时，ab? （ ） 13 C.? D.?2 44 4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若AB?8,CD?2,则?BCEA.0 B.的面积为 （ ） A.12 B.15 C. 16 D.18 0 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?( ) 5,CD?1,对角线的交点为M，则DM? 35 B. 2321 D. C.22 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则 A.M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( ) A. 123 B. C. D.1 234 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?3?ACB?900,?ABC?300,（x?0）的图象上， xAB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的坐标为 . 1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把?BAC三等分，AD?3,则AM? . 2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点，CD?AO,BC?OD,则 ?ABC? . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 94 才哥数学481659882 3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 . 第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20) 一、（本题满分20分） 已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值. 二、（本题满分25分） (A).如图，点C在以AB为直径的O上，CD?AB于点D,点E在BD上，AE?AC,四边形DEFM是正方形， 22AM的延长线与O交于点N.证明:FN?DE. 222333(B).已知：a?b?c?5, a?b?c?15, a?b?c?47. 求(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)的值. 95 222222 才哥数学481659882 三、（本题满分25分） (A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?1 ,且 (x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 . xyyzzx111??的值. 求 xyyzzx证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx). (B).如图，在等腰?ABC中,AB?AC?5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F, 求AD?AF的值. 2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?部分，则 1，a是t的小数部分，b是?t的小数 2?311?? （ ） 2ba31 C. 1 D. 3 A. B. 22【答案】A. 1?2?3,1?3?2,?3?2?3?4, 即3?t?4, 【解析】t?2?3?a?t?3?3?1. 又?t??2?3,?2??3??1,??4??2?3??3, ?b??t?(?4)?2?3,?11112?33?11??????,故选A. 2ba2(2?3)2223?1 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 【答案】C. 96 才哥数学481659882 【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y,z,则?即??x?y?z?30， 10x?15y?20z?500??y?z?30?x?y?20?2x，解得? 依题意得，x,y,z为自然数（非负整数）， ?3y?4z?100?2x?z?10?x故0?x?10,x有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相 对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 32?1?(?13),2?633?3 21和,26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 【答案】B. 22【解析】(2k?1)3?(2k?1)3??(2k?1)?(2k?1)???(2k?1)?(2k?1)(2k?1)?(2k?1)?? 2?2(12k2?1) （其中k为非负整数），由2(12k?1)?2016得，k?9 ?k?0,1,2,,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为 33333333333??1?(?1)???(3?1)?(5?3)??(17?15)?(19?17)?19?1?6860.故选B. 23(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a?b为整数时，ab? （ ） A.0 B.【答案】B. 13 C.? D.?2 44b?0,a?b?1?0, 故b?0, 且b??a?1， 2aa?b?a?(?a?1)?2a?1，于是?1?a?0, ??1?2a?1?1 11又a?b为整数，?2a?1?0, 故a???b,ab?，故选B. 424.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若AB?8,CD?2,则?BCE的 【解析】依题意知a?0,?面积为（ ） A.12 B.15 C. 16 D.18 【解析】设OC?x,则OA?OD?x?2, 1AB?4, 2222在Rt?OAC中，OC?AC?OA, x2?42?(x?2)2,即解得，即 4 题答案图） x?3OC?3 （第 ??B?90, OC为?ABE的中位线，?BE?2OC?6. AE是O的直径， 11?S?BCE?CB?BE??4?6?12. 故选A. 220 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?5,CD?1,对角线的交点为M，则DM? OD?AB于C,?AC?CB?( ) 35 B. 2321 D. C.22A. （第5题答案图） 【答案】D. 97 才哥数学481659882 【解析】过点A作AH?BD于点H,则?AMH～?CMD,?则CM?5?x,?AH?在Rt?ABM中，BM?AHAM?,CDCMCD?1, ?AH?AM,设AM?x, CMx 5?xAB2?AM2?x2?5, 则AH?AB?AM?BM5xx?52 ?5xx2?5?x,显然x?0，化简整理得2x2?55x?10?0 5?x5,（x?25不符合题意，舍去），故 251CM?,在Rt?CDM中，DM?CM2?CD2?,故选D. 22 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( ) 123A. B. C. D.1 234解得x?【答案】C. 【解析】 M?xy?(2y?3x)z?xy?(2y?3x)(1?x?y)??3x2?4xy?2y2?3x?2y 22?21?1??1????2??2?y?2?x??y??x????3x?3x?2?x?? 2?2??2???????1?11??1?33????2?y?x???x2?x???2?y?x????x???? 2?22??2?44??13 当且仅当x?,y?0时，M取等号，故Mmax?，故选C. 24 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y? 【答案】?2223?ACB?900,?ABC?300,（x?0）的图象上， xAB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的坐标为 . ?3??2,2??. ?? 【解析】如图，过点C作CD?AB于点D. 在Rt?ACB中，BC?AB?cos?ABC?33 在 33, （第1题答案图） 2?3??3?93m,,An,BD?BC?cosB?,?AD?AB?BD?,设C?， ???????m??n?22?Rt?BCD中， CD?BC?sinB?依题意知n?m?0,故CD?n?m,AD?33?，于是 mn 98