极值点偏移问题的处理策略 - 图文 

～—　　２ｏｌ４年第７期（一　ｋ＇／￣Ｊ　）　一～一一～　ｗｗ　，　。　然想到的是从①②两式得到｛　ｅ￣　１＝：ａ口（ｘｚ　ｌ－一１），从而　（１，＋ｃｘ３）上单调递减，　（１）一÷为极大值。　ｅ　１　２一口。（ｚ１—１）（ｚ２—１），因此改为证明ａ　（　１—１）　?解：（Ｉ）ｆ（ｚ）在（～。。，１）上单调递增；在　（ｚ２—１）＜口　，即（　一１）（　２—１）＜１。考虑用基本　（Ⅱ）由题意ｇ（ｚ）一厂（２－－Ｘ）一（２一　）ｅ一。，　令Ｆ（ｚ）＝ｆ（ｘ）一ｇ（　）＝＝＝ｚｅ～　一（２一　）ｅ一　（　≥１），Ｆ　（ｚ）一（ｚ一１）（ｅ一　一ｅ一）。　不等式（ｚ　一１）（ｚ　一１）＜ｆ　±孚　）　，接着就需证　ｚｌ＋３２２＜４。由于　１＞ｌ，ｚ２＞Ｉｎ　ａ，当取ａ—ｅ。时，将　因为当ｚ≥１时，ｚ一１≥０，ｅ一。一ｅ一≥０，所以　Ｆ　（ｚ）＞／ｏ，即Ｆ（ｚ）在［１，＋。。）上单调递增，所以当　会得到　＞３，从而ｚ　＋　＞４。二元一次不等式　。　＋ｚ　＜４对任意ａ∈（ｅ。，＋∞）不恒成立，自然的思路　一时陷入了僵局。　参考答案没有把①②两式变形相乘，而是将两式　相减得到③式，利用③式将ｆ　ｆ华）转化为④式：　半一　，以使参数　消－２－－。如此消参并不比　上述相乘消参得到（ｚ　～１）（ｚ　一１）＜１自然简洁，这　样的处理让人觉得有点像魔术师从帽子里变出兔子，　只有新奇，而不知所以然。④式是一个复杂的二元的　超越式，要证其小于０，一时也会觉得无从下手。答　案接着进行了一个巧妙的变形，将④式变形为⑤式，　得到关于生　，即　（ｓ＞０）的一元表达式。这样的　变形颇需一定的洞察力和思维的敏锐性，常常会难倒　众生。当然，得到⑤式的一元表达式后，问题就简　单了。　要证ｆ　ｆ　ｘ下ｌ＋ｘ２）＜０，自然思路一时受阻，参考　答案又显得玄乎，技巧性强。注意到不等式　－，　ｆ　下ｘｌ－￣－ｘ２）＜ｏ右边的０就是极值点Ｉｎ口处的导数，　即ｆ　（１ｎ　ｄ）一０，因此也就是要证ｆ　（华１＜　／　（１ｎ　ａ）。因为ｆ　（　）单－ｉＮ递增，即需证ｘｉ－　￣７ｘ＜　Ｉｎ　ａ，这是个极值点右偏的问题。能否有通行的、易　于理解的方法呢？让我们到曾经的考题中寻找答案。　２题海寻踪　例２　（２０１０年高考数学天津卷理科第２１题）已　知函数厂（ｚ）一ｘｅ一（　∈Ｒ）。　（工）求函数厂（　）的单调区间和极值；　（Ⅱ）已知函数　—ｇ（Ｌｚ）的图象与函数Ｙ一－厂（　）　的图象关于直线　＝１对称，证明：当ｚ＞１时，－厂（　）　＞ｇ（ｚ）；　（ＵＩ）如果　≠ｚｚ，且ｆ（ｘ　）一ｆ（ｘ　），证明：　＋　ｏＺ＂，＞２　ｘ＞ｌ时，Ｆ（　）＞Ｆ（１）一０，即　（ｚ）＞ｇ（　）。　（Ⅲ）因为ｌｚ　≠　，不妨设ｚ　＜ｚ。，由（Ｉ）可知　＜１，　２＞１，所以－厂（　１）一ｆ（　２）＞ｇ（　２）一　厂（２一ｚ２）。因为ｚ　＞１，２一ｚ２＜１，根据单调性ｚ　＞　２一ｚ２，即ｚ１＋ｚ２＞２。　点评：第（Ⅲ）问证Ｘｌ＋Ｘ２＞２，即要证半＞　１。半就是直线　一＾（　一厂（ｚ。）一－厂（－ｚ　））被函数　一厂（ｚ）所截线段中点的横坐标，不等式右边的１恰　是函数－厂（ｚ）＝ｚｅ一的极值点，因此本质上是证极值　点左偏。　例３　（２０１１年高考数学辽宁卷理科第２１题）已　知函数，（ｚ）＝Ｉｎ　ｚ—ｎｚ。＋（２一ａ）ｘ。　（Ｉ）讨论－厂（　）的单调性；　（Ⅱ）设ｎ＞０，证明：当ｏ＜ｚ＜丢时，厂（　＋－ｚ）＞　，（　一ｚ）；　（ＩｌＩ）若函数　一，（　）的图象与　轴交于Ａ、Ｂ两　点，线段ＡＢ中点的横坐标为ｚ。，证明：＿厂　（　。）＜０。　解：（Ｉ）＿厂（ｚ）的定义域为（０，＋。。）。（ｉ）若ａ≤　０，则＿厂（ｚ）在（０，＋ｏｏ）上单调递增；（ｉｉ）若ａ＞０，则　（　）在（ｏ，　１）上单调递增，在（　１，＋Ｃｘ３）上单调　递减。　（Ⅱ）设函数Ｆ（　）一厂（　＋ｚ）一－厂（丢一　），则　Ｆ（ｚ）一ｌｎ（１＋ａｘ）一Ｉｎ（１一ａｘ）一２ａｘ，　ｃｚ　一　＋　一２ｎ一　。　当Ｏ＜　＜　时，Ｆ　（　）＞０，Ｆ（０）一０，所以Ｆ（ｚ）　＞０。　故当ｏ＜　＜丢时，厂（　＋－ｚ）＞厂（　一ｚ）。　（１１Ｉ）由（Ｉ）可得，当ｎ≤０时，函数Ｙ一　（　）的图　象与ｚ轴至多有一个交点。而函数　一厂（　）的图象　与　轴有两个交点，故ｎ＞０。　点评：第（ＨＩ）问证　ｌ＋３２＂２＜０，即要证旦　－１－一．１：２＜　０。　二９　一不妨设Ａ（ｚ。，ｏ），Ｂ（ｚ２，ｏ），ｚ２＞ｚ　＞０，则ｚ２＞　＞ｚ。＞０，　一　＞　＞　一ｚ　＞Ｏ。　ｎ　口　口　乜　就是直线　一　（＾一，（ｚ　）一厂（　））被函数　由（Ⅱ）得厂（２　一ｚ　）一厂［　＋（　一ｚ　）］＞　－厂（ｚ）所截线段中点的横坐标，不等式右边的０恰　ｆ（ｘ１）一０一ｆ（ｘ２）。　从而ｚ　２＞导一＞　一ｎ　　，　ｌ，于是ｚ。：　｛　＞　。：　厶　Ⅱ＞÷。　　由（Ｉ）知，ｆ　（　。）＜Ｏ。　点评：第（ＩＩＩ）问证　’　（ｚ。）＜ｏ，即要证华＞　丢。　专　是函数　一　（　）的图象截　轴所得线段　中点的横坐标，不等式右边的音是函数厂（　）的极值　点，因此本质上也是证极值点左偏。　例４（２０１３年高考数学湖南卷文科第２１题）已　知函数厂（ｚ）一丽１－－Ｘ　ｅ　。　（Ｉ）求厂（ｚ）的单调区间；　（Ⅱ）证明：当ｆ（ｘ　）一ｆ（ｘ２）（ｚ１≠ｚｚ）时，　＋ｚｚ　＜０。　解：（工）厂（　）在（一。。，０）上单调递增，在（０，　＋。。）上单调递减。　（Ⅱ）证明：当ｘ＜ｌ时，由于圭　＞０　ｅｘ＞ｏ，所　以－厂（ｚ）＞０；同理，当ｘ＞ｌ时，，（ｚ）＜Ｏ。　当ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）（ｚ１≠　２）时，不妨设ｚ１＜ｚ２，由　（Ｉ）知ｚ　∈（～。。，Ｏ），ｚ　∈（Ｏ，１）。下面证明：　ｘ），　圈　一即证鲁ｅ　Ｖｚ∈（０，１），厂（ｚ）＜，（－－　＜等ｅ～。　此不等式等价于（１－－．Ｔ）ｅ　一　＜ｏ。　令Ｆ（ｚ）＝（１－Ｘ）ｅｚ一半，　则Ｆ　（ｚ）一－－ｘｅ一　（ｅ　一１）。　当ｚ∈（０，１）时，Ｆ　（ｚ）＜０，Ｆ（ｚ）单调递减，从而　Ｆ（　）＜Ｆ（０）：０，即（１一ｚ）ｅ　一　＜０。　所以Ｖｚ∈（Ｏ，１），厂（ｚ）＜，（－－ｘ）。　而ｚ。∈（Ｏ，１），所以ｆ（ｘ。）＜厂（－－Ｘｚ），从而ｆ（ｘ－）　＜，（－－Ｘ２）。　由于　，一ｚ２∈（一。。，０），厂（ｚ）在（一ｏｏ，０）上单　调递增，所以ｚ】＜一ｚ２，即Ｘ１＋　２＜０。　是函数厂（ｚ）一　专ｅ　的极值点，因此本质上是证明　极值点右偏。　３策略提炼　上面三道高考题最后一问所证不等式尽管不同，　但本质上都是证明极值点的偏移。由于所给函数都　是超越函数，直接由Ｊｆ（ｚ）＝ｈ求出　｛　的值再与　极值点比较大小几乎不可能，解答给出的是一种间接　证法。　例２先证函数　一厂（ｚ）关于直线　一１对称的函　数　—ｇ（　）满足：当ｚ＞１时，Ｌ厂（ｚ）＞ｇ（ｚ）；例３先证　当０＜ｚ＜丢时，厂（　＋ｚ）＞厂（　～ｚ）；例４先证Ｖｚ　∈（Ｏ，１），－厂（ｚ）＜＿厂（一ｚ）。不难发现都是先证关于极　值点ｚ。对称的两个函数值ｆ（ｘ。＋　）、ｆ（ｘ。一ｚ）的大　小关系，解题沿循着如下处理策略：　（１）构造一元差函数Ｆ（ｚ）一ｆ（ｘ。＋ｚ）一ｆ（ｘ。一　ｚ）：　（２）对差函数Ｆ（．ｚ）求导，判断导数符号，确定　Ｆ（ｚ）的单调性；　（３）结合Ｆ（０）一０，判断Ｆ（ｚ）的符号，从而确定　ｆ（ｘ。＋ｚ）、ｆ（ｘ。－－ｘ）的大小关系；　（４）由ｆ（ｘ　）一厂（３２。）一ｆｉｘ。～（‘　。一　。）］＞（或　＜）ｆｉｘ。＋（　。－－Ｘ。）］一ｆ（２ｘ。－－．Ｔｚ）得到，（Ｉｚ　）＞（或　＜），（２ｘｏ—ｚ２）；　（５）结合　（ｚ）单调性得到　＞（或＜）２ｘ。一　，　从而　＞（或＜）　。。　上述解题策略，直接构造一元的差函数Ｆ（ｚ）一　ｆ（ｘ。＋ｚ）一ｆ（ｘ。－－ｘ），接着进行常规的导数应用，不　需复杂的变形技巧，思路通行方便。其解题本质是比　较Ｘ　与２ｘ。一　。大小关系不方便时，转而通过比较　它们的函数值ｆ（ｘ　）与ｆ（２ｘ。－－Ｘ。）的大小关系，再结　合函数的单调性得到ｚ　与２ｚ。一ｚ　的大小关系。　从上面三道高考题，我们也看到题目有时为了降　低思维难度，通过增加一问要求证明ｆ（ｘ。＋　）、ｆ（ｘｏ　－ｘ）的大小关系，以启发紧接着的极值点偏移的证明　（如例２、例３）思路；有时为了增加思维难度，减去启　２０１４￣ｇ７１１ｌｔ　（｝＝旬）　…　…………　～…　、　◇…ｗ　。　㈣　…～　篓　黧磐　发性的小题，直接要求证明极值点的偏移（如例４）；　还有时会对极值点的偏移做些包装，如例３不是直接　Ｘ２＞１要求证明．—；Ｃ１　￣－而是进一步要求证明　一５大显身手　作为上述解题策略的应用，读者可以尝试去解以　下两道题。　，ａ　厂　（　）＜ｏ。　练习１　函数，（ｚ）一ｘｌｎ　ｚ一　（　＜０）的图象与　轴交于不同的两点Ａ（　，０）、Ｂ（．１７。，０），求证：　４牛刀小试　有了上面的解题策略，再看本文开头的南通市二　模第２０题第（Ⅱ）问，自然就有了下述解答。　令Ｆ（ｚ）一厂（Ｉｎ　ａ＋ｚ）一厂（Ｉｎ　ａ－－ｘ）（　≥０），　即Ｆ（　）一［ｅ　ａ＋ｘ—ａ（Ｉｎ　ａ＋ｚ）＋Ⅱ］一［ｅ　一　一　ｎ（Ｉｎ　ａ－－ｘ）＋ｎ］一ａ（ｅ　一ｅ～一２ｘ）。　从而Ｆ　（ｚ）一ａ（ｅ　＋ｅ～一２）≥０，所以Ｆ（ｚ）在　厂　（　）≠ｏ。　练习２　（２０１４年成都市石室中学一模第２０题）　已知函数　（ｚ）：ａｌｎ　—　。　（Ｉ）（Ⅱ）略；　（ＩＩＩ）当ａ一２时，函数ｈ（　）一厂（ｚ）一ｍｘ的图象　与ｚ轴交于两点Ａ（　，０）、Ｂ（ｚ。，０），且０＜ｘ１＜ｚ　，　又ｈ　（　）是ｈ（－ｚ）的导函数。若正常数ａ、　满足条件ａ　＋卢一１，卢≥ａ。证明：ｈ　（ａｘ?十　。）＜０。　［０，＋Ｃ×。）上单调递增。　因此当ｘ＞Ｏ时，Ｆ（　）＞Ｆ（Ｏ）一０，即＿厂（Ｉｎ　ｎ＋Ｉｚ）　＞　（ｉｎ　ａ－－ｘ）。　由（工）知ｌｚ１＜Ｉｎ　ａ＜　２，所以　２一Ｉｎ　ａ＞０，２１ｎ口　２＜Ｉｎ　ｎ，　６心存疑虑　对于只一个极值点的可导函数，什么情况下出现　极值点左偏，什么情况下出现极值点右偏？南通市二　模第２Ｏ题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失　败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可　因此ｆ（ｘ１）一ｆ（　２）一＿厂［１ｎ　ｎ十（ｚ　２一Ｉｎ　ｎ）］＞　ｆＥｌｎ　ａ一（　２一Ｉｎ　ａ）］一＿厂（２１ｎ　ａ—ｚ２）。　由于厂（　）在（一。。，Ｉｎ　ａ）上单调递减，所以　＜　２１ｎ　ａ—　。，即　｛　＜ｌｎ＆，从而　厶　＿＜ｌｎ。。　又，　（　）一ｅ　～ｎ是单调增函数，所以　ｆ　（￣／　１　２）＜＿，　（Ｉｎ　ａ）一０。　?以效仿这两式相减的思路？如此问题，笔者期待与大　家进一步探讨交流。　＋＊＋”＋“＋?－＋“＋“＋”—　＊——　“—?　”＋一　一＋??＋　＋．．＋一＋??＋一＋．．＋一＋??＋“＋．．＋一＋??＋＊＋?－＋一＋”＋??＋　－＋一＋一＋??＋一＋“＋”＋“—　”—　一＋一＋一——　”＋　（上接第ｌ３页）　（３）用什么例子来强化概念教学？强化概念的例　子应该有两类：一是与实际问题比较的例子，二是严　生活中的运用，同时减轻第二课时的负担，但这节课　也不适宜一下子把全部公式都推出来，因为学生由正　确使用到熟练使用需要较长时间，故留下问题第二课　时再回应。　四、小结　（１）对数产生的意义。　格数学意义上的例子。而且例子的选取应该越简单、　越能说明概念的本质（内涵与外延）越好。　教材是知识的载体，但知识不是终极的教育目　标，它是思想的载体。教师课堂上的任务就是要透过　知识的表象，挖掘出掩藏在知识背后的东西——思　想，而不是简单的知识传递。爱因斯坦曾经说过：“什　（２）指数、对数互化的方法。　（３）如何合理化制定计算规则。　五、作业　么是教育，当你把受过的教育都忘记了，剩下的就是　教育。”这句话很深刻，它告诉我们，当学生走出校门　后，可以忘记当年学的某个概念或某个原理，但应该　４反思　在设计概念课教学时，教师应该深入思考以下几　个问题：　掌握所学知识背后的思想，这样才能真正懂得运用科　学的思维方法去思考并解决问题。　参考文献：　（１）为什么会出现某个概念？找出与此概念相关　的本源性问题　］，再根据学生的认知心理特点重组构　造问题情境。　［１］Ｍ?克莱因．古今数学思想（第一册）ＥＭ］．上海：上海科　学技术出版社，１９８５．　Ｅ２］Ｍ?克莱因．古今数学思想（第二册）［Ｍ］．上海：上海科　学技术出版社，１９８５．　（２）现实中的例子与数学概念之间有什么不同？搞　清楚这个问题可以帮助学生理解概念的内涵与外延。　Ｅ３３杨玉东，李传峰．用本源性问题驱动数学概念教学ＥＪ］．　中学教研（数学），２００６（１）：１—５．