loading中考二次函数应用题探析
湖北省英山县长冲中学 沈立新(438700)
二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考重点考查内容，涉及二次函数的图像、性质和最值等，其关键是建立二次函数模型，难点是综合运用二次函数的相关知识分析、解决问题.现从二次函数模型的建立方法解析如下： 一、根据给定三组对应值 建立二次函数模型
例1 （2004年河南省）某市近年来经济发展很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8·6亿元人民币，1995年为10·4亿元人民币，2000年为12·9亿元人民币. 经论证，上述数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？
分析 由已知可得，该市国内生产总值是年数的二次函数，由于年份数太大，不便于计算，故可设从1990年起第x年该市国内生产总值为y亿元，并设y=ax2+bx+c.有已知可得，1990年对应x=0,此时y=8.6 ;1995年对应x=5,此时y=10.4 ;2000年对应x=10,此时y=12.9.将其代入解析式可建立一个二次函数，并由此解决问题.
解 设从1990年起，第x年该市国内生产总值为y亿元， 则x=0时,y=8·6;x=5时,y=10·4;x=10时,y=12·9.故
?c?8.6,?a?0.014,??25a?5b?c?10.4, 解得，??b?0.29, ?100a?10b?c?12.9?c?8.6.??∴ y= 0.014x2+0.29x+8.6.
2005年时， x=15,故y=0.014×152+0.29×15+8.6=16.1. 即2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元.
说明 本题实际上是已知x,y的三组对应值，求它们之间的函数关系式.本题的关键是设出x,y，并确定它们的三组对应值.
二、根据给定抛物线建立适当的直角坐标系建立二次函数模型
例2 （2005年宜昌市）宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用竖直岗拉索连接，桥面两端主塔塔顶的海拔高度均为187.5米，两主塔之间的距离为900米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）的最低点离桥面的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离两端主塔100米处竖直钢拉索的长.（结果精确到0.1米）
分析 由于大桥是抛物线形的，故可联想到二次函数.以桥面所在的直线为x轴，以过主悬钢索最低点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.则A（0，0.5），B（-450，94.5),C(450,94.5),再设抛物线的解析式为y=ax2+0.5,可解决本题. 解 如图1，以桥面所在的直线为x轴，
以过主悬钢索最低点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.则A（0，0.5），B（-450，94.5), C(450,94.5).
设抛物线的解析式为y=ax2+0.5, 将 （450，94.5）代入求得a= ∴y=
94 4502942
x+0.5. 245094当x=350时,y=×3502+0.5≈57.4(米). 2450说明 对于给定的抛物线，常常根据自己的需要，为其建立适当的直角坐标系，求出其解析式解决问题.
三、利用公式建立二次函数模型
例3 (2003年河北省）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产.已知每件产品的成本为40元.在销售中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利(年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）.
⑴试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； ⑵试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）; ⑶计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量为多少万件？
⑷公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售;第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数的大致图像，说明第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？ 分析 销售单价为x元时，销售单价增加了（x－100)元，故可得年销售量为20－
1（x－100)元 ,由此可求y与x之间的函数关系式;再由公式年获利=年销售额－生产成本10－投资，可求出z与x的函数关系式，再运用二次函数的相关性质解决问题. 解：⑴由题意知：当销售单价定为x元时，年销售量减少∴y=20－
1（x－100)万件， 1011（x－100)=－x＋30. 10101即y与x之间的函数关系式为y=－x＋30.
1011⑵由题意得：z=(－ x＋30)(x－40)－500－1500=－x2＋34x－3200.
10101即z与x之间的函数关系式为z=－x2＋34x－3200.
101 ⑶当x取160时，z=－×1602＋34×160－3200=－320,
101由－x2＋34x－3200=－320,得x2－340x＋28800=0,
10由根与系数的关系可得，160＋x=340,∴x=180. 即同样的年获利，销售单价还可定为180元，且 当x=160时，y=－
11×160＋30=14;当x=180 时，y=－×180＋30=12. 1010即相应的年销售量分别为14万件和12万件.
⑷由z=－
121x＋34x－3200=－(x－170)2－310, 1010∴x=170时，z取最大值－310.
即当销售单价定为170元时，年获利最大并且到第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资，故第二年的销售单价定为x元时，年获利为z=(－34x－1510. 当x=1130时，－
112
x＋30)(x－40)－310=－x＋101012
x＋34x－1510=1130,即x2－340x＋26400=0.得x1=120,x2=220. 10函数的大致图像如图2所示：
由图像可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130. ∴ 第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.
分段函数应用题探析
湖北省英山县实验中学 (438700) 张向东
分段函数即是自变量在不同的取值范围内，函数解析式也不相同的一类函数，其主要特征是一个函数多个解析式.分段函数应用题也是同学们的主要失分点之一，下面就近年各地中考中的分段函数应用题分类例析如下： 一、一次分段函数
例1 （2005年泰州市）教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管，课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学的接水量都是相等的.两个放水管同时打开时，它们的流量相同.放水时先打开一个水管，过一会儿再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图1所示：
（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）(x≥2)的函数关系式； （2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需几分钟？ （3）按（2）的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接到水？ 分析 本题的关键是根据所给图像确定已知点的坐标，并由此求出函数的解析式，值得注意的是y表示的是饮水机的存水量，因此，在（2）中求出22名同学的接水量后，不能直接代入解析式，而应求出这时的存水量并代入求值.在（3）中则需要注意学生的接水量不可能超过饮水机的放水量.
解 ⑴当x≥2时，设y=ax＋b,由（2，17），（12，8），得
9?a??,??2a?b?17,?10 ? ??12a?b?8.?b?94.?5?99494 ∴y=－ x＋ (2≤x≤ ) .
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⑵ 由图可知，每个同学接水（18－ 17）÷4=0.25（升），22位同学需接水0.25×22=5.5（升），此时饮水机中存水量为18－5.5=12.5（升）. 当y=12.5时，由12.5＜17知，x＞2,故有－ ∴ 前22名同学接水需7分钟.
⑶设有x名同学能及时接到水，则0.25x≤18－（－
994 x＋ =12.5, ∴ x=7. 105994×10＋ ), 105∴ x≤32.8,
又x为正整数，故课间十分钟最多有32名同学能及时接到水.
评注 一次分段函数是近年各地中考中的必考题型，解题的关键是弄清两个变量
的实际意义，并充分借助函数图像的直观性理解两个变量的变化关系. 二、二次分段函数
例2 （2005年黄冈市）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势.设这种时装开始(第一周）时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售.
⑴试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
⑵若这种时装每件进价Z与周次x之间的关系为Z=－0.125(x－8)2＋12, 1≤x≤16,且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？ 分析 设每件销售利润为W元，建立销售价y与周次x之间的函数关系式后，将y－Z即得W与x的函数关系式.
解 ⑴当1≤x≤6时，y=20＋2(x－1)=2x＋18; 当6≤x≤11时，y=30;
当12≤x≤16时，y=30－2(x－11)=－2x＋52.
?2x?18(1?x?6),?∴ y=?30(6?x?12),
??2x?52(12?x?16).? ⑵设每件销售利润为W元，则W=售价－进价， 当1≤x≤6时，W=y－Z=2x＋18＋0.125(x－8)2－12=当6≤x≤11时，W=y－Z=30＋0.125(x－8)2－12=
12
x＋14; 812
x－2x＋26; 81当12≤x≤16时，W=y－Z=－2x＋52＋0.125(x－8)2－12= x2－4x＋48.
8?12?8x?14(1?x?6)??12?x?2x?26(6?x?11)即W=?8
?12?8x?4x?48(12?x?16).?①当1≤x≤6时，W=
12
x＋14,x≥0时，函数W随x的增大而增大， 8121x－2x＋26= (x－8)2＋18 ，当x≥8时,函数W随x的增大而88∴ 当x=6时，W有最大值18.5； ②当6≤x≤11时，W=增大，
1 . 811 ③当12≤x≤16时，W=x2－4x＋48=(x－16)2＋16,当x≤16时，函数W随x的增大
88∴ 当x=11时，W有最大值19 而减小，