用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程

用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程

用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程 郝晨阳 （晋中学院信息技术与工程学院） 由于在解决静电场问题时常常会用到拉普拉斯方程，同时有很多物理问题也用到它，因此对它的求解非常重要。 ?直角坐标系中 直角坐标系中拉普拉斯方程: ?2??2??2???=2?2?2?0?x?y?z2 变量分离： 设?(x,y,z)?f(x)?g(y)?h(z) 拉普拉斯方程变为： f''(x)g''(x)h''(x)???0f(x)g(x)h(x) 上式成立的唯一条件是三项中每一项都为常数，故可分解为下列三个方程 d2f(x)2??kf(x)x2dx d2g(y)2??kyg(y)2dyd2h(z)2??kh(z)z2dz 其中k2x2?ky?kz2?0且k、k和k 为常数，但不能全为xyz 实数或全为虚数。 以常微分方程xd2f(x)??kx2f(x)2dx12 为例，其解的形式为: 若k为零，则f(x)?Cx?C 若k为实数，则f(x)?Csin(kx)?Ccos(kx) x1x2x若为虚数，f(x)?Csh(?x)?Cch(?x) kx1x2xkx?i?x，则f(x)?C1e?xx?C2e??xx或同理可解出g(y)和h(z) 因此拉普拉斯方程在直角坐标系中的解为： ?(x,y,z)?(a?a'x)(b?b'y)(c?c'z)??(Acoskx?Asinkx)(Bll'lll,nncoskny?Bl'sinkny)(Cl,nchkl2?kn2z?Cl',nshkl2?kn2z) ?球坐标系中 球坐标系中拉普拉斯方程: 1?2??1???1?2?(r)?2(sin?)?22?0r2?r?rrsin?????rsin???2 令方程具有分离变量的解：?(r,?,?)?R(r)?Y(?,?) 则得到两个微分方程：(1) 1??Y1?2Y(sin?)?2?l(l?1)Y?02sin?????sin???d2RdRr?2r?l(l?1)R?02drdr2 (2) 1.求解方程(1) 进行变量代换，令r?e，则t?lnr t