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第十讲?整式的乘法与除法?
中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．?
整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．? 正整数指数幂的运算法则：?
???an?am?an?m；?????(a?b)n?anbn；?
????(an)m?an?m；?????am?an?am?n??≠?，?＞??；?
?
常用的乘法公式：? ???????????????????；? ?????±??????±??????；? ?
?
?
?????±??????±?????????±??； ? ????????????????????????????????．?
例??求????????????????展开后，??项的系数?．?
解????????????????????????????????．因为??项只在???????中出现，所以只要看??????????????中??项的系数即可．根据乘法公式有?
??????????????????，?
所以??项的系数为?．?
说明?应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．?
?
?
?
????????????????????????????????．?
解?原式????????????????????????????????????????? ? ?????????????????????????????????? ?????????????．?
说明?注意本例中??????????????≠????．?
例??化简????????????????…?????????，其中?为大于?的整数．?解?原式???????????…?????????
?????????…??????????????? ?????????．?
说明?本例可推广为一个一般的形式：?
?????????????????…??????????????????．?
例??计算?
?????????????????????；?
??????????????????????????????．?
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分析与解????这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．?
原式???????????????????????????????????? ? ????????????????????????．?
???????????????的结果是??????，这个结果与多项式?????????????相乘时，不能直接应用公式，但?
????????????????????????
与前两个因式相乘的结果??????相乘时就可以利用立方差公式了．? 原式?????????????????????????????
??????????????????????·?????????????? ??????????????????????．?
例??设?，?，?为实数，且?
??????????????????????????????????????????????????，?
解?先将已知条件化简：?
?
左边????????????????????????，?右边????????????????????????．?
所以已知条件变形为?
?????????????????????????，?
即? ??????????????????????．? 因为?，?，?均为实数，所以?????．所以?
?
说明?本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．? 我们把形如?
??????????????…????????
??为非负整数?的代数式称为关于?的一元多项式，常用????，????，…表示一元多项式．? 多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式????除以另一个一元多项式????时，总存在一个商式????与一个余式????，使得??????????????????成立，其中????的次数小于????的次数．特别地，当??????时，称????能被????整除．?
例??设?????????????，???????????????，求用????去除????所得的商????及余式????．? 解法??用普通的竖式除法?
?
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解法??用待定系数法．?
由于????为?次多项式，首项系数为?，而????为?次，首?
?
???????????．?
根据??????????????????，得?
???????????
?
?
比较两端系数，得?
?
??
例??试确定?和?，使???????????能被???????整除．? 解?由于??????????????????，因此，若设?
????????????????，?
假如????能被???????整除，则???和???必是????的因式，因此，当????时，???????，即?
?????????，???
当????时，???????，即? ????????????，??? 由①，②联立，则有?
?
练习十?
?．计算：?
??????????????????????????????；????????????????；?
?????????????????????????????．??．化简：?
?????????????????????????????；?
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????????????????????????????????????????；?
?????????????????????????????????????×???????．? ?．已知????????，化简?
?????????????????????????????．?
?．设????????????????，求????除以???????所得的商式和余式．?
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