loading圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型
① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法
① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决；
② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，
A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,
则可先建立起目标函数，
直线y= kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于 E, F两点.
(1) 若 ED — = 6IDF，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF的面积的最大值. ［思路演示］
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解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为
X + y2= 1,直线AB的方程为x+ 2y— 2= 0. 4
设 D(xo, kxo), E(X1, kx1), F(X2, kx?),其中 X1 y= kx, 由 V 2= 1 y 得(1 + 4k2)x2= 4, 2 解得X2= —x1 =〒4F?① -- > 由 ED — = 6DF，得 x0— x1= 6(x2— x0), Xo = ^(6X2+ X1) = 5x2 = _10_ 7 ；1 + 2 10 解得k = 2或k = 3.24k2— 25k + 6= 化简，得 1 + 2k 7 .1 + 4k2' 0, 由点D在直线AB上，得Xo+ 2kx02 = - 2 xo =百. ⑵根据点到直线的距离公式和①式可知， =2(1 + 2k+ 寸 1 + 4k2, A/5(1 + 4 k2 )' 点E ,F到AB的距离分别为d1= |X1+ 2kX1 2| .5 |X2+ 2kx2— 2| 2 1 + 2k- 1 + 4k2 J d2= ------ : ----- = 2 -------- ， \\5 又 |AB|= 22 + 12= 5, ???四边形AEBF的面积为 1 」1 厂 4(1 + 2k) S= 2AB|(d1+ d2) = 2 ? 5 ? 51 + 40 =2(1+ 2k = 2 _ = 1 + 4k2= 2 =2 心(1 + 4k2) 1 + 4k~ + 4k 1 + 4 k2 = 2 1 4k 1 + 1 + 4k2 = 2羽， 4 1+ ----- W 2 1 4k + . k + — 2 4k k 1 1 当且仅当 4k = k(k>0)，即k=1时，等号成立. 故四边形 AEBF的面积的最大值为 ［解题师说 2 2. 由于四边形 AEBF中的四个顶点中, A, B为已知定点，E, F为直线y= kx与椭圆的 AEBF的面积可用直线 y= kx的斜率k表示，最后 交点，其坐标一定与 k有关，故四边形 通过变形，利用基本不等式求最值. ［应用体验］ 1已知椭圆 C的左、右焦点分别为 Fi(- 1,0), F2(1,0)，且 F2 到直线 X- _ 3y- 9 = 0 的距离等于椭圆的短轴长. (1) 求椭圆C的方程； (2) 若圆P的圆心为P(0, t)(t>0)，且经过Fi, F2, Q是椭圆 C上的动点且在圆 P夕卜, ，求 t的值. 过点Q作圆P的切线，切点为 M，当QM |的最大值为 2 2 解：(1)设椭圆的方程为 字+器=1(a>b>0). 依题意可知，2b=与^= 4,所以b= 2. 又 c= 1,故 a2= b2+ c2= 5, 2 2 故椭圆C的方程为:+y=1. 5 4 ⑵由题意，圆P的方程为x2 + (y—1)2= t2+1. 设 Q(xo, yo)，因为 PM 丄 QM , 所以 |QM|= |PQ|2-12- 1 = x0+ yo— t2— t2— 1 =p-揄+ 4tf+ 4+ 4代 1 若—4tW — 2,即 t>-, 当y°=— 2时，|QM|取得最大值， |QM |max = 4t+ 3= %2,解得 t= 8<-(舍去).若—4t>— 2，即 Ov tv2, 当 y0=— 4t 时，|QM |取 最大值，且 |QM |max =寸4+ 4『=^J2，解得 t^-42. 综上可知，当t=￥时，|QM|的最大值为 冷2. 范围 问题 5种常用解法 解决圆锥曲线中的取值范围问题的 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ⑵利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的 (3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参 数的取值范围. x y ［典例］(2018 ?肥质检)已知点F为椭圆E： / +器=1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与 短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 (1)求椭圆E的方程； ⑵设直线x + y = 1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点 A, B,若 开PM |2= |PA| |PB|,求实数 入的取值范围. ［思路演示］ 解：⑴由题意，得a = 2c, b= 3c, 2 2 x 2 2 + y=1与椭圆E有且仅有一个交点 M. 4 2 则椭圆E的方程为4^2+总=1.