loading第五章 微分方程模型
建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。
§5.1 根据规律建模
在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。我们就可以根据相应的规律，列出常微积分方程。下面以目标跟踪问题为例介绍。
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A?1,0?处的乙舰发射导弹，导弹弹头但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度V0沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5V0,求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?
解：设导弹轨迹为y=y(x),经过时间t，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q(1,V0t)。由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ就是曲线y(x)在点P处的切线，因此，由y?'V0t?y得 1?xV0t?(1?x)y'?y，
又因为弧OP的长度为5|AQ|，即
x?01?y'2dx?5V0t
'1x'2所以 (1?x)y?y??1?ydx，
501''整理得 (1?x)y?1?y'2，
5'并有y(0)=0,y(0)?0，解得
555y??(1?x)5?(1?x)5?81224
当x=1时，y?46y54?4??，即当乙舰行到?1,。 ?处被击中，t?25V24V25??00 §5.2 微元法建模
微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。以容器漏水问题为例。
有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出。小孔横截面为1cm2. 开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h（水面与小孔中心距离）随时间t变化的规律。
解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算：
dv?0.62S2gh， dtdv其中0.62为流量系数，S为孔口横截面积。现S=1cm2. 故 ?0.622gh
dtQ?
另一方面，现在［t,t+?t］内，水面高度由h降至h?dh(dh?0)，则
dv???r2dh
其中r为时刻t的水面半径。因为
r?1002?(100?h)2?200h?h2，
所以
dv???(200h?h2)dh，
于是
0.622ghdt???(200h?h2)dh，
由此得
34dt?2?(h?200h2) dh0.622g满足h|t?0?100. 解得
t??4.652g(7?10?10h?3h)
533252此即容器内水面高度h与时间t之间的函数关系式。
§5.3 模拟近似法建模
在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。然后再把解得的结果同实际情况作对比。以交通管理问题为例。
在交通十字路口，都会设置红绿灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万
不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。那么，黄灯应亮多长时间合理呢？
解：各段时间应该满足以下关系：
黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口的时间+刹车距离的时间。 通过路口的时间：
设v0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度。则通过路口的时间为
I?L，（车v0尾通过路口）。
下面计算刹车距离：
设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=?w，汽车在停车过程中，行驶距离x与时间t
wd2x的关系可由下面微分方程求得???w（F=ma).
gdt2'满足：x|t?0?0,x|t?0?v0，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得
2v01v02x???gt?v0t 。令x’=0，所以刹车时所用时间t0?，刹车距离x(t0)?.
?g22?g由上面得黄灯状态时间为
A?x(t0)?I?LvI?L?T?0??t，
v02?gV0其中T是驾驶员反应时间，A,v0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）。
假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,当v0=45，60，80km/h时，黄灯时间如下表示。
v0 (km/h) 45 60 80
A(s) 5.27 6.06 7.28
经验法的值（s）
3 4 5
经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口。
§5.4 微分方程模型实例
例1.最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理、