loading第一章 线性空间和线性变换
1.1 线性空间
????定义1.1 设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示。如果V满足下列条件
??????(I) 在V中定义一个加法运算，即当x,y?V时，有唯一的x?y?V，且加法运算满足下列性质
????????(1) 结合律 x?(y?z)?(x?y)?z；
??????(2)交换律 x?y?y?x;
??????(3)存在零元素0，使x?0?0?x?x；
??????????(4)存在负元素，即对任一向量x?V, 存在向量y?V，使得x?y?0, 则称y是x?
的负元素，记为?x，于是有
??? x?(?x)?0
?V(II)在中定义数乘（数与向量的乘法）运算，即当x?V,k?K时，有惟一的?kx?V, 且数乘运算满足下列性质
??????(5)数因子分配律k(x?y)?kx?ky；
???(6)分配律(k?l)x?kx?lx
??(7)结合律 k(lx)?(kl)x；
??(8)1x?x
则称V为数域K上的线性空间或向量空间。
不管V的元素如何，当K为实数域R时，则称V为实线性空间，当K为复数域C时，就称V为复线性空间。
例1. 设R?为所有正实数组成的数集，其加法与数乘运算分别定义为 m?n?mn，k?m?mk 证明R?是R上的线性空间。
定理 1.1 线性空间V有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。
????????n 同n维线性空间R中向量组的线性相关性一样，如果x1,x2,...,xn为线性空
?V间中的n（有限正整数）个向量，x?V,且存在数域K中的一组数c1,c2,...,cn, 使
????????? x?c1x1?c2x2?...?cnxn (1.1)
??????????????????则称x为向量组x1,x2,...,xn的线性组合，有时也称向量x可由x1,x2,...,xn线性表示。
如果式(1.1)中的c1,c2,...,cn不全为零，且使
???????? c1x1?c2x2?...?cnxn?0
????????则称向量组x1,x2,...,xn线性相关，否则称其为线性无关。
定义 1.2 线性空间V中的线性无关向量组所含向量最大个数称为V的维数。若n是具有这个性质的正整数，则称V的维数是n，记为dimV?n
维数是n的线性空间称为数域K上的n维线性空间，记为Vn。当n???时称为无限维线性空间。
例： Rn?n是R上的n2维线性空间。
三、线性空间的基与坐标
????????定义 1.3 设V是数域K上的线性空间，x1,x2,...,xr（r?1）是属于V的r个向量，如果它满足
????????(1) x1,x2,...,xr线性无关；
?????????(2)V中任一向量x都是x1,x2,...,xr的线性组合，
??????????则称x1,x2,...,xr为V的一个基或者基底。并称xi(i?1,2,...,r)为基向量。
注：一个线性空间的基不是惟一的。
????????n
定义 1.4 称线性空间V的一个基x1,x2,...,xn为Vn的一个坐标系。设向量?x?Vn，它在该基下的线性表达式为
? x??1x1??2x2?...??nxn
?则称?1,?2,...,?n为x在该坐标系中的坐标或者分量，记为
（?1,?2,...,?n）
??????????????????nn定理 1.2. 设x1,x2,...,xn是V的一个基，x?V,则x可以惟一地表示为x1,x2,...,xn的线性组合。
基变换和坐标变换
?????????????????n
设x1,x2,...,xn是V的旧基，y1,y2,...,yn为其新基，则由基的定义可得
????????????y1?c11x1?c21x2?...?cn1xn?????????????y2?c12x1?c22x2?...?cn2xn ?.........?????y?cx?cx?...?cxnnn?n1n12n2或者形式地写为
?????????????????(y1,y2,...,yn)?(x1,x2,...,xn)C (1.6)
其中矩阵
?c11c12...c1n??c?c...c2n?C??2122 ?............???cc...cnn??n1n2称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式(1.6)为基变换公式。
?现在讨论向量的坐标变换问题。为此，设x?Vn在上面所述旧新两基下的坐标依次是(?1,?2,...,?n)T与(?1,?2,...,?n)T，即有
?????????????????x??1x1??2x2?...?nxn??1y1??2y2?...?nyn
可以得到
??1???1???????22 ???C?? (1.7)
?...??...???????n???n?或者
??1???1???????22?1 ???C?? (1.8)
?...??...???????n???n?式(1.7)与(1.8)给出了在基变换(1.6)下的向量坐标的变换公式。
?n例： 在R中，已知向量x在基e1,e2,...,en下的坐标为(?1,?2,...,?n)T，求当该基改
??????????变为y1?(1,1,...,1),y2?(0,1,1,...,1),...,yn?(0,0,...,1)时，向量x在新基下的坐标
(?1,?n,...,?n)T。
例 1.8 已知矩阵空间R2?2的两个基
?10??10??01??01?(I): A1??, ，， A?A?A?243????????01??0?1???10??10??11??11??11??10?(II): B1???, B2??10?, B3??00?, B4??00? 11????????求由基(I)改变为基(II)的过渡矩阵。
?2111???1?0111?答案
??22210???0010?
五、线性子空间
定义1.5 设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V中已有的线性运算满足以下条件
??????(1) 如果x,y?V1, 则x?y?V1；
??(2)如果x?V1,k?K, 则kx?V1.
则称V1为V的线性子空间或子空间。
子空间的生成问题 ????????设x1,x2,...,xm是数域K上的一组向量，其所有可能的线性组合的集合
????? V1?{k1x1?...?kmxm:ki?K,i?1,2,...,n}
是非空的，而且容易验证V1对V的线性运算是封闭的，因此，V1是V的一个线
????????性子空间。这个子空间称为由x1,x2,...,xm生成的子空间，记为
????????????? L(x1,x2,...,xm)?{k1x1?...?kmxm} (1.10) 定义 1.6 设A?(aij)?Rm?n, 以ai(i?1,2,...,n)表示A的第i个列向量，称子空间????????L(a1,a2,...,an)为A的值域（列空间），记为
R(A)?L(a1,a2,...,an) (1.12) 由矩阵的秩的定义可知R(A)?Rm,且有 rankA?dimR(A)
?R(A)还可以这样生成：令x?(?1,?2,...,?n)T?Rn, 则
??????????????T Ax?(a1,a2,...,an)(?1,?2,...,?n)??1a1?...??nan 由此可见
?? R(A)?{Ax|x?Rn}
同样可以定义AT的值域（行空间）为
??TT R(A)?{Ax|x?Rm}?Rn 且有
rankA?dimR(A)?dimR(AT)
??m?n定义 1.7 设A?(aij)?R, 称集合{x|Ax?0}为A的核空间（零空间），记为
??? N(A)?{x|Ax?0} (1.14)
??N(A)是齐次线性方程组Ax?0的解空间，它是Rn的一个子空间。A的核空间的维数称为A的零度，记为n(A), 即 N(A)?dimN(A)
?101?例1.9 已知 A??，求A的秩及零度. ??011?
答案：rankA?2， n(A)?1
一般地，若A?(aij)?Rm?n, 则有下面的一般公式
rankA?n(A)?n (1.15)
????????n
定理 1.3 设V1是数域K上的线性空间V的一个m维子空间，x1,x2,...,xm是V1的基，则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基。换言之，在Vn中必可找到n?m????????个向量xm?1,xm?2,...,xn, 使得x1,x2,...,xn是Vn的一个基。
N(A), 即