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第二章 有理数
一、本章知识结构图
二、主要知识精要
1．数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要
思想．
2．对于有理数的基本概念，要能从不同角度去理解、认识．
例如，相反数的概念，可以从本身的定义、在数轴上的位置、在加法中的运用等多方面去认识．
3．在学了负数以后，要注意克服小学与第一章中出现的字母只表示正数或0的局限性．如进一步认识a?b?b?a的a,b可以是正数、负数或0．
4．在运算中，要注意正负号、运算顺序等，以提高准确性，还要注意灵活运用运算律，会用计算器进行数的简单计算，以提高运算速度．
三、思想方法总结
1．观察方法
在有理数这一章中的一些主要概念和性质，例如，数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较、有理数的运算法则和运算律的研究都离不开观察． 2．分类思想
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．这种处理问题的思维方法称为分类思想．
本章在研究相反数、绝对值、有理数加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则等，都是按有理数分成正
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数、负数、0三类分别研究的．
分类必须遵循以下两条规则：
⑴每一次分类要按照同一标准进行；
(2)不重复、不遗漏．例如，如果把有理数分为正数和负数两类，漏掉了零，就错了． 3．数形结合思想
“数无形，少直观，形无数，难人微”，利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简．
用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现．结合数轴表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数大小的比较等，更有直观性．
在这一章中，我们学习了数轴、任意一个有理数都在数轴上对应一个点，数轴是一条直线，是我们能直观看见的图形．这就使代数中的数与几何中的图形结合在一起了．即可以借助直观的几何图形解决抽象的代数问题．这种方法叫数形结合法，它是今后学习中的一种重要方法．在其它科目的学习中，也要结合直观的图形去解决抽象的问题，结合日常生活中的现象去学习书本中的知识，这样能帮助我们分析问题、解决问题，使 较难的问题简单化．
四、典型例题讲解
例如 1 a?b?0,比较a、?a、b、?b的大小 方法一：?a?b?0,?|a|?|b|
且?a?0,?b?0 又?|?a|?|a|,|?b|?|b| ?|?a|?|?b|
??a??b ??a??b?b?a
方法二：因为a与?a,b与?b互为相反数，
又?a?b?0,
?a,b,?a,?b可在数轴上表示来，根据在数轴上，右边的数总大于左边的数可比较a,?a,b,?b的大小．(如图)
点评：方法二是借助于数轴来比较有理数的大小，方法非常简单，明了．
例2 已知2是绝对值最小的有理数,y是最大的负整数，求代数式x3?3x2y?3xy2?y3的值． 分析：因为绝对值最小的有理数为0，最大的负整数是?1,所以x?0,y??1,把x?0,y??1 代入所求的代数式中，可求出代数式的值．
解：?x是绝对值最小的有理数，
?x?0
又?y是最大的负整数， ?y??1
?x3?3x2y?3xy2?y3 ?03?3?02?(?1)?3?0?(?1)2?(?1)3
?0?0?0?1 ??1
注意：代入时，底数要加括号．
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例3 计算：
?23?(?1)100?12?(?1?|?1?32?2|1)22
分析：按运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减：本题要先算出分子与分母的值，对于分母应先做绝对值符号里面的运算．
解：
?23?(?1)100?12?(?1??|?1?32?2|1)22
1?8?1?12?(?)4 ?1??1?9?2???8?1?12?(?4)
1?|?1?18|?8?1?48
1?|?19|?393919??1 1?192020注意：①底数有括号与没有括号的区别，?23中的指数3只属于2，不属于“-”号；(?1)100中的指数l00属于?1
②要特别注意运算中的符号．
例4 当|x|?3时，x?(?7)一定等于?4吗？a为整数，a的倒数是
1吗?上述问题如果不对，请说明理由． a分析：由|x|?3，得x??3,把x??3分别代入x?(?7)中，求得两个值，与?4比较．a为整数，a可以是0，0没有倒数．
解：上述说法都不正确．
1．因为|x|?3时，x??3，如果x?3时，x?(?7)??4,正确．但当x??3时，x?(?7)??10，则上述说法错误．
2．a为整数，a的倒数是
11也不正确．因为当a?0时，不存在． aa注意：①由|x|?3得两个x的值?3.这里的?3不能丢掉．
②零没有倒数．
例5 数以在数轴上的位置如图，试把a，a的相反数，a的倒数和a的倒数的绝对值从小到大用“?”连
接起来．
分析：首先在数轴上找到口的相反数，a的倒数和a的倒数的绝对值的位置，然后利用数轴比较它们的大小．
解：因为以的相反数是?a，a的倒数是，a的倒数的绝对值是|1111?1?a?0，所以0??a?1，??1，||?1所以?a??a?||
aaaa1a1|.由图可知 a注意：分清相反数、倒数、绝对值的意义．
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