loading整式的乘法及因式分解知识点
1．幂的运算性质：
am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a)2(－3a2)3 2．?a?mn＝ amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例： (－a5)5
nnn??ab?ab （n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积． 3．
mn4．a?a＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
5．零指数幂的概念：a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
6．负指数幂的概念：
1pa－p＝a （a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．
?n???也可表示为：?m??p?m?????n?（m≠0，n≠0，p为正整数）
p7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
8．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
10、因式分解中常用的公式，例如：
2222
（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；
222222
(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；
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(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；
22333322
(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：
2222
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
211、凡是能用十字相乘法分解因式的二次三项式ax2+bx+c，都要求??b?4ac >0而且
22333322
是一个完全平方数。（a、b、c是常数）
整式的乘法及因式分解相关题型：
一、有关幂的典型题型：
13133522224公式的直接应用：（1）ab?6abc?(?ac) （2）(?mn)?(?2mn)
321、若n为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 2、如果(a nb·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn的值是
3、已知10?2，10?3，则10mn3m?2n?____________．
练习题：若x3ym?1?xm?n?y2n?2?x9y9,则4m?3m?_____.
如果
，
，则
______________．
4、已知1?x?x2???x2004?x2005?0,则x2006?________. 5、若2x?4y?1，27y?3x?1，则x?y等于（ ）
（A）－5 （B）－3 （C）－1 （D）1
120022003（）（?2）6、计算:·等于( )． 211(A)－2 (B)2 (C)－ (D)
2211002?(?)1003＝ ． 7、计算：(?16)1618、已知a?,mn?2, 求a2?(am)n的值
2 练习题：（2）若x2n?2,求(?3x3n)2?4(?x2)2n的值
（3）若2x?5y?3?0，求4?32的值．
9、若2?4xy?1xy，27?3yx?1，则x?y等于（ ）
（A）－5 （B）－3 （C）－1 （D）1 10．如果a?2，b?3，c?4，那么（ ）
（A）a＞b＞c （B）b＞c＞a （C）c＞a＞b （D）c＞b＞a
23127
练习题：如果a=2，b=4,c=8,比较a、b、c的大小 乘法法则相关题目：
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554433法则应用：(?2x)?(?y)?3xy?(1?1x)； （2）3a(2a2?9a?3)?4a(2a?1) 31（3）(2x?y)(x?y) （4）(－4x 2＋6x－8)·(－x 2)
22?2?（5）（2xy）·（-7xy）÷14xy （6）?x2y??5?2
3
2
43
3?1??1???x2y????xy? ?2??5?23?5??1??2?（7）??an?1b2????anb2????anbn?
?2??4??5?（8）4?x?y??x?y??6?y?x???x?y?；（9）16?a?b?6?a?b?5??a?b?3?a?b?
543222????????2 1、 (－3x )＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝ 2
，b＝
2、在(ax 2＋bx－3)(x 2－
1x＋8)的结果中不含x 3和x项，则a＝ 23、一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 了2cm，则面积增大了 。 5．先化简，再求值：（每小题5分，共10分） （1）x（x-1）+2x（x+1）－（3x-1）（2x-5），其中x=2． （2）?m2?(?m)4?(?m)3，其中m=?2
（3）(a?b)(a?b)?(a?b)2?2a2，其中a?3，b??．
，若将长方形的长和都扩大
4、若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = , m = ,= ;
133，ab?1，化简(a?2)(b?2)的结果是 2227、在实数范围内定义运算“?”，其法则为：a?b?a?b，求方程（4?3）?x?246、已知：a?b?的解．
乘法公式相关题目:
3、x2?____?9y2?(x?_____)2；x2?2x?35?(x?7)（______________）
111??34、已知x??5，那么x?3=_______；?x??=_______。
xxx??5、若9x?mxy?16y是一个完全平方式，那么m的值是__________。
222x2?y2?x?y?(x?y)?A，则A=_____________________
6、证明x+4x+3的值是一个非负数 2
练习题：a-6a+10的值是一个非负数。
22
7、当代数式x+4x+8的值为7时,求代数式3x+12x-5的值.
2
因式分解：
基础题：（1）a2b2?0.25c2（2）9(a?b)2?6(b?a)?1
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（3）a4x2?4a2x2y?4x2y2 （4）(x?y)2?12(x?y)z?36z2
216?8(x?y)?(x?y)? . 2、分解因式：
3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy．
34. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：a?9a
5、分解因式：a?2ab?b?c 6、分解因式：x?5x?6
练习题：分解因式：（1）x?7x?6、（2）3x?11x?10
222222b （3）a?8ab?1287、分解因式（1）2x4?x3?6x2?x?2
22解：原式=x(2x?x?6?221111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6?
xxxx1122设x??t，则x?2?t?2
xx22∴原式=x（2t?2)?t?6?=x22t2?t?10
21???? =x2?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2?
xx????21????22 =x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1
xx??????????? =(x?1)2(2x?1)(x?2) （2）x4?4x3?x2?4x?1
??1??1??41?2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????1122 设x??y，则x?2?y?2
xx222 ∴原式=x(y?4y?3)=x(y?1)(y?3)
11222 =x(x??1)(x??3)=x?x?1x?3x?1
xx32例15、分解因式（1）x?3x?4
22解：原式=x(x?4x?1?????解法1——拆项。 解法2——添项。
3232原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4 =
(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4)
2=(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x2?4x?4)
22=(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)
963（2）x?x?x?3
963解：原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)
363333=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)
3633=(x?1)(x?x?1?x?1?1)
263=(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)
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