loading
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.i为虚数单位，则i2013? （ ）
A.?i B.?1 答案：C
解析： i2013?i4?503?1?i
2. 若f(x)?xex，则f?(1)＝( )
A．0 B．e
C. i D.1
C．2e
D．e2
解析：选C ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
x2y2??1的一个焦点坐标是?5,03. 已知双曲线?,则双曲线的渐近线方程是9m
）
（
223234x D. y??x A. y??x B. y??x C. y??3443答案：B
x2y2?1的焦点在x轴，且m?0,c?9?m?3，又一个焦点是?5,0?，解析：知双曲线?
9m∴9?m?5,m?16 双曲线的渐近线方程为y??4x 34．下列叙述：
①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；
②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：B
解析：①正确，②③错误.
5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )
A.7个 B.12个 C.24个 D.35个
答案：D
6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A.设数列?an?的前n项和为Sn.由an?2n?1，求出S1?12,S2?22,S3?32,，…，推断：
Sn?n2
B.由f(x)?xcosx满足f(?x)??f(x)对?x∈R都成立，推断：f(x)?xcosx为奇
函数
x2y2C.由圆x?y?r的面积S??r，推断：椭圆2?2?1(a?b?0)的面积S??ab
ab2222D.由?1?1??21,?2?1??22,?3?1??23,…，推断：对一切n∈N*，?n?1??2n
答案：A
解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前nn?1＋2n－1?2
项和等于Sn＝＝n，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.
2
22227. 已知函数f(x)?x3?3x2?9x?3，若函数g(x)?f(x)?m在x???2,5?上有3个零点，
则m的取值范围为 ( )
A．(－24,8)
B．(－24,1] C．[1,8] D．[1,8)
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；
而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－
m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故
??m<8，?即m∈[1,8)． ??m≥1，
[答案] D
8. 抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足
?AFB?90.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
值为
MNAB的最大
答案：A
2 2 D. 3 A.B.
3 2
C. 1
y432AL11,BF?r2，则 解析：试题分析：设AF?rN1MBxF1234–1O–1–2–3
1MN2(r1?r2)1r12?2r1r2?r2212r1r2r12?r2212 ???1??1??22222222AB2r1?r22r1?r22r1?r22r1?r2
二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．
?9.24sinxdx? 0 答案：4
??24sinxdx??4cosx|0?4
?解析：?2010.已知0?a?1，复数z的实部为a，虚部为1,则复数z对应的点Z到原点距离的取值范围是 答案：1,2
解析：∵0?a?1，∴OZ?a2?1?1,2 11. 曲线C：y?????lnx在点(1，0)处的切线方程是 . x答案：y?x?1
1－ln xln x
解析：设f(x)＝x，则f′(x)＝x2.所以f′(1)＝1.所以所求切线方程为y＝x－1.
12. 棱长均为3的三棱锥S?ABC，若空间一点P满足SP?xSA?ySB?zSC(x?y?z?1)，则SP的最小值为 . 答案：6 解析：∵SP?xSA?ySB?zSC(x?y?z?1)，
∴A,B,C,P四点共面，SP的最小值即为点S到底面ABC的高h?6.
13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 . 答案:24
解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A22种方法；A与戊机形成三个“空”，把
2222
丙、丁两机插入空中有A3种方法；考虑A与戊机的排法有A22种方法．可知共有A2A3A2＝24种不同的着舰方法．
x2y214. 椭圆C:??1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在椭圆C上，记直线PA2的斜率
43为k2，直线PA1的斜率为k1，则 k1·k2= .
3
答案：－4
解析：椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，
22
y0y0y0x20y0
则kPA1kPA2＝·＝2，而4＋3＝1，
x0＋2x0－2x0－4332
即y2＝(4－x)，所以kk＝－00PA1PA2
44
15.函数f(x)?x2?aln(1?x)有两个不同的极值点x1,x2，且x1?x2，则实数a的范围是
?1?答案：?0,?
?2?解析：f(x)定义域为(?1,??)
aa，令f?(x)?0，则2x??0在(?1,??)内有两个不同的实数根 x?1x?11a??2x(x?1)，结合图象知0?a?
2三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） f?(x)?2x?22设p:实数x满足x?4ax?3a?0, q:实数x满足x?3?1.
(1)若a?1,且p?q为真，求实数x的取值范围；
(2)若其中a?0且?p是?q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解:（1）. 由x?4ax?3a?0得(x?3a)(x?a)?0
当a?1时，1?x?3,即p为真时实数x的取值范围是1?x?3.……………2分 由x?3?1, 得?1?x?3?1, 得2?x?4
即q为真时实数x的取值范围是2?x?4,……………4分 若p?q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2?x?3. ……………6分
(2) 由x?4ax?3a?0得(x?3a)(x?a)?0 ?p是?q的充分不必要条件，即?p??q,且?q设A={x|?p},B={x|?q},则A2222???p, ……………8分
B,
又A={x|?p}={x|x?a或x?3a}, B={x|?q}={x|x≥4或x≤2}，……………10分
则0?a?2,且3a?4
C1 4所以实数a的取值范围是?a?2……………12分
317. （本小题满分12分）
如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱垂直底面,?ACB?90?，AC?BC?CC1?2.
（1）求证:AB1?BC1；
A1 B1
C
A B