loading第 24 讲 轨迹问题之圆弧轨迹
上一节讲的是直线轨迹问题，本章节将讲解轨迹为圆弧的情况。 模型讲解
P
α
P
d
d
动点 P 到定点 O 的距离为 d 保持不变，则点 P 的轨迹 为以点 O 为圆心， d 为半径的圆上 .
∠P 保持不变，∠ P 所对的边长为 d 保 持不变，则∠ P 的顶点 P 的轨迹 为圆弧 . （ 简称：定边定角 ）
【例题讲解】
例题 1、 在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2cm，BC＝3 cm，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边 （即两个端点始终落在矩形的边上） ，按逆时针方向滑动一周， 则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的 图形的面积为
cm
2
.
EF 的运动过程中， EF 始终与矩形四个顶点组成一个直角三角形，
.
EF 作为斜边
【分析】我们发现在
不变，所以根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可知斜边中线也不变
A E
P B
F
C
B
D
A E
P F
C D
【解析】连接 BP ∴BP＝－ EF＝1
∴此时图中点 P 的运动轨迹为以点 B 为圆心， 1cm 为半径的圆弧上 同理，∴点 P 在各个角上均作弧线运动
∴轨迹围成的图形为一个矩形减去四个四分之一圆 易求的围成面积为 6－π
例题 2、 在正方形 ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边 DC，CB 上的点，且始终保持 AE 和 DF 交于点 P，则线段 CP 的最小值为
.
Q
A
P
E D
A
P
E D
DE＝CF，连接
B B
C C
【解析】解：如图，在△ ADE 和△DCF 中，
AD DC
DCF
ADE DE CF
∴△ADE 2△DCF（SAS） ∴∠DAE＝∠ CDF ∵∠DAE＋∠ AED＝90°
∴∠CDF ＋∠AED＝90° ，∴∠ DPE＝∠APD ＝90° . ∠APD＝90° 保持不变
∴点 P 的轨迹为以 AD 为直径的一段弧上 ∴取 AD 中点 Q，连接 CQ，与该圆弧交点即为点 ∴CP＝CQ－PQ＝ 5 －1
P，此时 CP 值最小在 Rt△CQD 中，CQ＝ 5
【巩固训练】
1、如图，在△ ABC 中，AB＝3，AC＝2. 当∠B 最大时， BC 的长是
C
.
A
B
2.如图，一根木棒 AB 的长为 2m 斜靠在与地面垂直的墙上，与地面的倾斜角∠ 向下滑动至 A'，AA'= 3
2 ，B 端沿地面向右滑动至点
B'.
ABO 为 60°，当木棒沿墙壁
(1)木棒中点 P 运动的轨迹是 （填“线段 ”或者“圆弧 ”）.
.
(2)木棒中点从 P 随之运动至 P'所经过的路径长为
N A A'
P
P'
O
B
第2题图
B'
M
3、如图， O 的半径为 2，弦 AB=2，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则 △ABC 的最 大面积是
.
A
O
P
B
C
第3题图
4、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ BCD =30°，BC =4，CD=3 3，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一
.
动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 △AMN，连接 A'C，则 A'C 长度的最小值是
D
M A
N
第4题图
A'
B
C
5、如图，半径为 2cm，圆心角为 90°的扇形 OAB 的 A?B上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H，设 △OPH 的内心为 I，当点 P 在 A?B 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为
B
P
.
I
A H
第5题图
O
6、如图,以 G(0,1)为圆心 ,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点,与 y轴交于 C、D 两点,点 E 为 OG 上一动点 ,CF ⊥AE 于 F,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为
y C
.
E
G
F
A
O
D 第 6题图
B
x
7、如图 ,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰 △BCE，CE= CB，过 E 做 EH⊥BC，点 P 是△BEC 的内心，连接 AP，若 AB=2，则 AP 的最小值为
.
A
E
D
P
B
F
第7题图
C
8、如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD =3，点 E、F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF=2，点 G 为 EF 的中 点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA+ PG 的最小值为
.
A
E
D
G
F
B
P C 第8题图
9、如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（ 7,3），点 E 在边
AB 上，且 AE=1，已知点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP，过点 O 作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点从点 F（0, 25
4
）运动到原点 O 的过程中，点 H 的运动路径长为 .
y
F P C H
B E
O x
第9题图
A
10.如图,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAB =∠PBC ,则线段 CP 长的最小值为
.
A
P
C
B
第10题图
11.在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，AC =10，BC=12，点 D 为线段 BC 上一动点 .以 CD 为⊙O 直径，作 AD 交⊙O 于点 E，连 BE，则 BE 的最小值为
.
P