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专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量训练 文
一、选择题
1.设向量a，b满足|a＋b|＝A.1
解析 由|a＋b|＝
10，|a－b|＝
6，则a·b＝( ) C.3
D.5
B.2
10得|a＋b|2＝10，
即a2＋2a·b＋b2＝10， 又|a－b|＝
①
6，所以a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1. 答案 A
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b|
B.|a－b|≤||a|－|b|| D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
C.(a＋b)2＝|a＋b|2
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cos
a，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当向量a和b方向
不共线时，有|a－b|＞||a|－|b||，对于C、D容易判断恒成立.故选B. 答案 B
232
3.若非零向量a，b满足|a|＝πA. 4
|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
3π C.
4
πB. 2
D.π
解析 由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0， 3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，所以
即
?22?2222??3×??－3cos θ－2＝0，cos θ＝2，3??
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精选教案
π
由于θ∈[0，π]，所以θ＝，选A.
4答案 A
4.(2016·郑州模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a＋2c)∥b，则k＝( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 依题意得a＋2c＝(3，1)＋(2k，14)＝(3＋2k，15)， 因为b＝(1，3)，(a＋2c)∥b.所以3(3＋2k)＝15，解得k＝1. 答案 A
→→→→5.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( ) 3A.－
41C.－
4
8B.－
94D.－
9
→→→1→→→→→→→
解析 ∵BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝，∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO2
328→→→→→?1?
＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝??＋0－1＝－.
9?3?答案 B 二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________. 2
解析 由题意，得a·b＝0?x＋2(x＋1)＝0?x＝－.
32
答案 －
3
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精选教案
→→
7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).
→→
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC. →
解析 ∵AB2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；
→→→→
∵BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|b|＝2，故②错误； 1→→→11∵b＝AC－AB，∴a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；
222
→
→
→
∵BC＝b，故④正确；
→→→→→→
∵(AB＋AC)·(AC－AB)＝AC2－AB2＝4－4＝0， →
∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确. 答案 ①④⑤
→→→→→→
8.(2016·石家庄模拟)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋
AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________.
→→→→
解析 ∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0，
→→→→→→→∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB) →→→→→→
＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0.
→→→→
∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 7→→
∴(λ－1)|AB||AC|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.
12答案
712
→→→
三、解答题
?π?
9.设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.
?2?
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精选教案
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2＝(
3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
?π?1π又x∈?0，?，从而sin x＝，所以x＝.
26?2?
(2)f(x)＝a·b＝
3sin x·cos x＋sin2x
?π?1311
2x－?＋， ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin?
6222??2?π?π?π?
当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.
2?6?3??
3
所以f(x)的最大值为.
2
10.(2016·福建南平3月模拟)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，
3b)与n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求A； (2)若a＝
7，b＝2，求△ABC的面积.
3bcos A＝0，
解 (1)因为m∥n，所以asin B－由正弦定理，得sin Asin B－又sin B≠0，从而tan A＝3sin Bcos A＝0，
π
3，由于0＜A＜π，所以A＝.
3
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， 而a＝π
7，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，
3
即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，
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精选教案
133
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
22法二 由正弦定理，得
2
＝， πsin Bsin
37
21
从而sin B＝，又由a＞b，知A＞B，
72所以cos B＝
7，
7
?π?
故sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋?
?3?
ππ321
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
3314133
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.
22
??3x3x?xx?
11.(2016·海口4月测试)已知向量a＝?cos ，sin ?，b＝?cos ，－sin ?，且
22?22????π?
x∈?0，?. ?2?
(1)求a·b及|a＋b|；
3
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.
23xx3xx解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
2222
|a＋b|＝＝
?3xx?2?3xx?2?cos ＋cos ?＋?sin －sin ?
22?22???
cos2x，
2＋2cos 2x＝2?π?
因为x∈?0，?，所以cos x≥0，所以|a＋b|＝2cos x.
?2?
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