loading2013-2014学年度第一学期永城高中高二（一）部数学导学案（理）（1）
第一章 导数及其应用§1.1.1 变化率问题
学习目标
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程 一、课前准备
（预习教材，找出疑惑之处）
二、新课导学
学习探究 探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
新知：平均变化率：
f(x2)?f(x1)?f?
x2?x1?x 试试：设y?f(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点x2，x1与x2的差记为?x，即
?x= 或者x2= ，?x就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，
函数的变化量或增量记为?y，即?y= ；如果它们的比值为 ，此比值就称为平均变化率.
?y，则上式就表示?x - 1 -
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反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 三、 典型例题
例1 过曲线y?f(x)?x3上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线，求出当?x?0.1时割线的斜率.
变式：已知函数f(x)??x2?x的图象上一点(?1,?2)及邻近一点(?1??x,?2??y)，则
例2 已知函数f(x)?x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，1.1]；
练习. 已知函数f(x)?2x?1，g(x)??2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.
（发现：y?kx?b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？ 四、总结提升
学习小结
1.函数f(x)的平均变化率是 2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 知识拓展
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
?y= ?x - 2 -
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学习评价 当堂检测（限时：15分钟）： 一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) C．f(x0)·Δx
2
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
3．已知函数f(x)＝－x＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A．3
B．0.29 C．2.09
2
D．2.9
4．已知函数f(x)＝x＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( ) A．2
B．2.3 C．2.09
2
D．2.1
5．已知函数f(x)＝－x＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( ) A．2－Δx C．2＋Δx
B．－2－Δx D．(Δx)－2·Δx
2
Δy2
6．已知函数y＝x＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
ΔxA．2
B．2x C．2＋Δx
2
D．2＋(Δx)
2
7．质点运动规律S(t)＝t＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A．6.3
B．36.3 C．3.3
D．9.3
123
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x、③y＝x、④y＝中，平均
x变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B.
Δts(t0＋Δt)－s(t0)
C. s(t0＋Δt)－s(t0)ΔtD.
s(t)
t12?1?10．已知曲线y＝x和这条曲线上的一点P?1，?，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q4?4?的坐标为( )
12??A.?1＋Δx，(Δx)? 4??
12??B.?Δx，(Δx)?
4??
12??C.?1＋Δx，(Δx＋1)?
4??二、填空题
12??D.?Δx，(1＋Δx)?
4??
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Δy3
11．已知函数y＝x－2，当x＝2时，＝________.
Δx11
12．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
4x13．已知曲线y＝x－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________
三、解答题
14．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
2
15．过曲线f(x)＝2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当
2
x1
Δx＝时割线的斜率．
4
16．求函数y＝x在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
17．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
2
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