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高三第一轮复习数学---算术平均数与几何均数
一、教学目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；
2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．
二、教学重点：不等式的简单运用；
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、算术平均数：如果a,b?R，那么
?a?b2叫做这两个正数的算术平均数。
?2、几何平均数：如果a,b?R，那么ab叫做这两个正数的几何平均数。
223、定理：如果a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a=b时取“=”号）
?4、推论：如果a,b?R，那么
?a?b2?2ab（当且仅当a=b时取“=”号）
25、基本不等式：若a,b?R，则
?a?b2?a?b2?ab?21a?1b
当且仅当a=b时取“=”号
（二）例题分析：
题型1、利用基本不等式比较大小 例1、若a?b?1,P?小。
解：?a?b?1,?lga?lgb?0
12lga?lgb,Q?12?lga?lgb?,R?lga?b2，试比较P，Q。R的大
?lga?lgb???lga?lgb，即Q?P a?b2?lgab?12又
a?b2ab,?lg?lga?lgb?，?R?Q
即R?Q?P
题型2、利用基本不等式证明不等式 例2、已知a,b,c?R，求证a2?b2?a2b2?c2?c2?a2?2?a?b?c?
证明：??b22?a?b????
2??2222?a2?b2?2a?b??a?b?
同理?b2?c2?22?b?c?,?c2?a2?22?c?a?
三式相加得a2?b2?b2?c2?c2?a2?2?a?b?c?
练习证明不等式：若a,b?R,a?1,b?1，则a1?b2?b1?a2?1
a2证：a1?b2?b1?a2??1?b22?b2?1?a22?1
例3、已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：a?证一：? a,b,c为不等正数，且abc=1
1?a?b?c?1bc?1ac?1ab?b?21c?1a?2b?c?1a?1b?1c
1c?1a?21b?1a?1b?1c
证二：? a,b,c为不等正数，且abc=1
??1a?1b2?1c?bc?ac?ab?abc?b?c?2bc?ca2a?1c?ba?ca2c?bc?ba2
abc?abc?1a?1b?2b?所以a?
小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。 练习：已知a,b?R且a+b=1
?1??1??1???1??9 ?a??b??求证：?证一：
b??a?a??1??1??a?b??a?b???b?1???1???2???1???1?????2???4?2????1?4?4?1?9abababab???????????????证二：因为a,b?R且a+b=1，所以a?b?2ab，?1ab?2
?1??1????1???1???a??b??a?1??b?1?ab?ab?a?b?1ab?1?2?a?b?ab?1?4abab?1?4ab?1?8?9题型3、利用基本不等式求最值 例4、（1）已知x?54，求函数y?4x?2?214x?5的最大值。
2（2）已知a,b为实常数，求函数y??x?a???x?b?的最小值。
分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。 解（1）?x?54,?5?4x?0
1?????5?4x???3??2?3?1
4x?55?4x??1?y?4x?2?当且仅当5?4x??15?4x，即x=1时”=”成立
当x=1时ymax?1
22222（2）?y??x?a???x?b??2x?2?a?b?x?a?b
x?a?b2时,ymin?a?b??2???2?2?2?a?b?a?b2?a2?b2??a?b?22
22另解： y??x?a???x?b???x?a???b?x?2222??x?a???b?x???2??2????a?b?2
当且仅当x-a=b-x，即x?a?b2时，ymin??a?b?22
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小。
题型4、基本不等式的综合应用
例5、已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8 解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1?kv 当v=12时，y1=720 ?720?k?12得k=5 22设全程燃料费为y，依题意有 y?y1?200v?8?1000vv?8264?64????1000?v?8??16??32000??1000?v?8?v?8?v?8??? 当v?8??64v?8，即v=16时取等号 8 所以当v??16时，v=16时全程燃料费最省 当v??16时，令t?v?8?任取8?v1?v2?v0 则0?v1?8?8,0?v2?8 ?1?64?0 64v?8 ?v1?8??v2?8???64??0 ?t1?t2??v1?v2??1???v1?8??v2?8????64v?8即t?v?8?在?8,v??上为减函数，当v=v0时，y取最小值 1000v?v??82 综合得：当v??16时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当v??16时，当v=v0时，全程燃料费最省，为 1000v?v??82元。 64v?8另解：当v??16时，令t?v?8?t?1?' ?64?v?8?2 ?8?v?v0?16 ?0?v?8?8,0??v?8?2?64 ?t?1?'?64?v?8?2?0 ?t?v?8?64v?8在?8,v0?上为减函数 以下相同 小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论 判断函数单调性用导数是很有效的方法 （三）巩固练习： 1.设x?y?0,则下列各式中正确的是 ( ) A x?x?y2?xy?y B y?x?y2?xy?x C x?x?y2?y?xy D y?x?y2?xy?x 2.下列不等式的证明过程正确的是 ( )