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本节主要内容
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自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 左右极限
函数极限的性质
5 子序列收敛性
6 函数极限与数列极限的关系
讲解提纲：
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义1 如果对于任意给定的正数?(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式x?X的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)?A??,那末常数A就叫函数f(x)当x??时的极限,记作limf(x)?Ax??或f(x)?A(当x??)
\??X\定义：limf(x)?A????0,?X?0,使当x?X时,恒有f(x)?A??.
x??另两种情形:
1.x???情形:limf(x)?A????0,?X?0,使当x?X时,恒有f(x)?A??.
x???02.x???情形:limf(x)?A????0,?X?0,使当x??X时,恒有f(x)?A??.
x???0定理：limf(x)?A?limf(x)?A且limf(x)?A.
x??x???x???二、自变量趋于有限值时函数的极限
定义2 如果对于任意给定的正数?(不论它多么小),总存在正数?,使得对于适合不等式0?x?x0??的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)?A??,那末常数A就
叫函数f(x)当x?x0时的极限,记作limf(x)?Ax?x0或f(x)?A(当x?x0)
\???\定义limf(x)?A????0,???0,使当0?x?x0??时,恒有f(x)?A??.
x?x0注意：1.函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关2.?与任意给定的正数;
?有关.
三、左右极限的概念 左极限
???0,???0,使当x0???x?x0时,恒有f(x)?A??.记作x?x0?0(x?x0)?limf(x)?A或f(x0?0)?A.
右极限
???0,???0,使当x0?x?x0??时,恒有f(x)?A??.
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记作x?x0?0(x?x0)?limf(x)?A或f(x0?0)?A.
注意:{x0?x?x0??}?{x0?x?x0??}?{x???x?x0?0}
定理：limf(x)?A?f(x0?0)?f(x0?0)?A.
x?x0
四、 函数极限的性质： 1、唯一性
定理1 若limf(x)存在,则极限唯一. 2、有界性 定理2
若limf(x)?A，则存在常数M?0和??0，使得当0?x?x0??时，有f(x)?M.
x?x03、保号性 定理3
若limf(x)?A,且A?0(或A?0),则???0,当x?U(x0,?)时,f(x)?0(或f(x)?0).
x?x00定理4
若在x0的某去心邻域内f(x)?0(或f(x)?0)，且limf(x)?A,则A?（或0A?0）.
x?x0五、子序列的收敛性 定义3
设在过程x?a(a可以是x0,x0,或x0)中有数列xn(?a),使得n??时xn?a.则称数列???f(xn)?,即f(x1),定理5
f(x2),?,f(xn),?为函数f(x)当x?a时的子列.若limf(x)?A,数列f(xn)是f(x)当x?a时的一个子列x?a,则有limf(xn)?A.
n??函数极限与数列极限的关系：
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.
例题选讲：
自变量趋于无穷大时函数的极限
例1 用极限定义证明 limx??sinxx?0.
证：因为
sinxx?0?sinxx?1x?1X??,
???0,取X?1?,则当x?X时恒有sinxx?0??,故limsinxxx???0.
定义:如果limf(x)?c,则直线y?c是函数y?f(x)x??
的图形的水平渐近线. 14
例2 用极限定义证明 lim(x2?x4?4x2?1)?2
x???证： x2?x4?4x2?1?2?3x2?2?x4?4x2?3?1x2?2??
要使上述不等式成立，只要有x???x?2?x?3???2??. ?因此，任给??0,取X?max??3?2,???, ???当x?X时，有x2?x4?4x2?1?2??
故lim(x2?x4?4x2?1)?2
x???
自变量趋于有限值时函数的极限
例3 利用定义证明 limC?C（C为常数）.
x?x0证：任给??0,任取??0,
当0?x?x0??时,f(x)?A?C?C?0??成立,
所以limC?C.
x?x0例4 证明：limx2?1x?1x?1?2
2证：f(x)?A?x?1x?1?2?x?1?2?x?1
故???0,取???, 当0?x?1??时，必有
x2?1x?1?2??
因此 limx2?1x?1x?1?2
例5 证明: 当x0?0时, limx?xx?x0.
0证：?f(x)?A?x?x0?x?x0x?x?x?x0
0x,0任给??0,要使f(x)?A??,只要x?x0?x0?且不取负值.
当0?x?x0??时,就有x?x0??,?limx?xx?x0.
0
子序列的收敛性
例6 证明 limsin1x?0x 不存在.
证：取?x1?n????x?n??, limn?0, 且xn?0; ?n?? 15
??1????取?xn4n?1???2?? ?,?? limxn??0,
n??而limsinn??1xn1?xn?limsinn??0,
n??而limsinn???limsinn??4n?12??lim1?1,二者不相等
n??故limsinx?01x不存在.
左右极限的概念
1?xsin,?x??例7 试问函数f(x)??10,??2??5?x,x?0x?0在x?0处的左、右极限是否存在？ x?0当x?0时，f(x)的极限是否存在？ 解：limf(x)?lim(5?x)?5, 左极限存在
x?0?2x?0?x?0lim?f(x)?lim?f(x)lim?xsinx?0x?01x?0, 右极限存在
?lim?f(x)?lim?f(x)?limf(x)不存在
x?0x?0x?0
课堂练习
1. 若f(x)?0, 且limf(x)?A.问: 能否保证有A?0的结论? 试举例说明.
??x,x?22. 设f(x)??，求limf(x).
xx?2??e,x?2
第五节 无穷小与无穷大
对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.
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无穷小
无穷小与函数极限的关系 无穷小的运算性质 无穷大
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