loading34 设
1
2
s是非齐次线性方程组 ks为实数
满足
Axb的s个解 k1 k2 k1k2 ks1. 证明
xk1
也是它的解. 证明 因为的解
所以
i1
1
k2
2
kss
2
s都是方程组Axb Ab (i1 2
1
s)
2
从而 A(k1k2ksA
s
kss)k1A1
k2A2
因此x 35
1
(k1k2 ks)bb
2
k1
1
k2 kss也是方程的解
设非齐次线性方程组Ax2
b的系数矩阵的秩为r
1个线性无关的
nr1
是它的nr解 试证它的任一解可表示为
1
xk1k2
2
kn
r1nr1
(其中k1k2
knr1
1).
nr1
证明 因为
1
2
均为Axb的
解
nr 所以
nr1
121
231
1
均为Ax1
b的解
2
用反证法证
nr线性无关
2
设它们线性相关
nr 则存在不全为零的数
1
使得
1
1
即
nr 2
22
2
(
3
1
)
nr nr0
1
(
1
) (
nr11
)0
2
0
nr1
nr亦即 由
1
(
1
)
11223
nrnr1
2
(
1
2
线性无关知
nr 矛盾
2
)
12
nr0
1
因此
2
nr线性无关
1
nr为Axb的一个基础解系
1
设x为Axb的任意解 则x
2
为Ax0的解 设
nr 故
x1
可由
1
1
nr线性表出
x1
k2k3
2
knr1
k2(
21
)k3(
31
) knr1
(
nr1
1
)
x1
(1
k2k3 knr1
)k2
2
k nr1
nr1
令k1
1k2
k3 knr1
则k1k2k3 knr1
1 于是
xk1
1
k2
2
knr1nr1
36
设
V1{x(x1 x2
xT
n)| x1
xnR满足x1x2
xn0}V2{x(x1 x2
xT
n)| x1
xnR满足x1x2
xn1}问V1
V2是不是向量空间为什么
解 V1是向量空间 因为任取
(a1
a2
aT
n)
V1 b2
bT
n)
V1 R
有 a1a2 an0 b1b2
bn0
k3
3
(b1
从而 (a1b1)(a2b2)
(a1
a2 bn)0
a1a2 an)0
所以 (a1b1 aTnbn)V1
(
a1 a2
V2不是向量空间 因为任取
(a1
a2
bT
2
bn)V1
有 a1a2 an b1b2 bn从而 (a1b1)(a2b2)
(a1
a2 bn)2
所以 (a1b1 aTnbn)V1
2b2 an)
T
1 1
2b2(anbn)
an)(b1b2
an(a1a2
a
n)
TV1
V1 (b1
(anbn)
an)(b1b2
a a