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学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 年 级：九年级（下） 辅导科目：数 学 课 时 数：3 学科教师： 第09讲----- 圆周角和圆心角的关系 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 ① 明确圆周角定义，掌握圆周角定理及4个相关推论的内容； 教学目标 ② 通过练习总结解题经验，掌握两周常用辅助线的应用条件； ③ 理解确定圆条件的意义，并能用相关定理解释； ④ 掌握三角形外接圆圆心的确定及不同三角形中外接圆圆心的位置。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、 知识梳理 1
二、 知识概念 （一）圆周角的定义与圆周角定理 1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （二）常用解题思路 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构造同弧所对的圆周角和圆心角，这两种基本技能技巧一定要掌握． 注意： ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化． ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． （三）圆内接四边形 1、圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 注意： 圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． （四）确定圆的条件 1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一2
个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． （五）三角形的外接圆 1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 注意： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个 而一个圆的内接三角形却有无数个． 考点一： 圆周角的定义与圆周角定理 例1、 请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 例2、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ） A．25° B．30° C．40° D．50° 3
例3、如图将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧A．45° B．30° C．75° D．60° 上一点，∠APB的度数（ ） 例4、如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且 1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° 考点二： 圆周角定理的推论 例1、如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ） A．80° B．90° D．30°或150° C．100° D．无法确定 例2、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且（1）试判断△ABC的形状，并说明理由． （2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值． 4
=．