loading第六章 水波理论
6-1 求波长为145m的海洋波传播速度和波动周期，假定海洋是无限深的。 答：c?1.25??1.25?145?15.052（m/s），
??0.8??0.8?145?9.633（s）；
即传播速度为15.052（m/s），波动周期为9.633（s）。 6-2 海洋波以10m/s移动，试求这些波的波长和周期。 答：??c/1.25?10/1.25?64（m），
2222??0.8??0.8?64?6.4（s）；
即波长为64（m），波浪周期为6.4（s）。 6-3 证明W(z)?Acos2?????iH??t?为水深为H的进行波的复势，其中??x?iy为复
2变数，y轴垂直向上，原点在静水面上。并证明??2??th2?H?（提示：
cos?x?iy??cosxchy?isinxshy）。
答：在图示坐标系中，平面进行波的速度势为：
??agchk?y?H?sin?kx??t?
?chkH??chk?y?H??a?cos?kx??t?， ?xshkH??shk?y?H??a?sin?kx??t?； ?yshkH在x、y方向的速度分别为：
u?v?由上述速度分布得到二维波浪运动的流函数为：
????vdx?udy???a? ?a?shk?y?H???cos?kx??t?kshkHagshk?y?H? ???cos?kx??t??chkH因此，二维波浪运动的复势为：
shk?y?H?chk?y?H?sin?kx??t?dx?a?cos?kx??t?dyshkHshkH - 1 -
W?z????x,y,t??i??x,y,t?agchk?y?H?agshk?y?H??sin?kx??t??i?cos?kx??t? ?chkH?chkHag1?chk?y?H?sin?kx??t??ishk?y?H?cos?kx??t?? ???chkH ?在上式中，令：
A?ag1，X?kx??t，Y?k?y?H?；
?chkH?则可得到：
W?z??A?chY?sinX?ishY?cosX????????? ?A?chY?cos??X??ishY?sin??X??
?2??2??????????? ?A?chY?cos?X???ishY?sin?X???2?2?????由提示cos?x?iy??cosxchy?isinxshy，可以得到：
???W?z??Acos?X??iY?2????? ?Acos?kx??t??ik?y?H??
2????? ?Acos?k?x?iy??ikH??t??2??
6-4 在水深为d的水平底部（即z??d处），用压力传感器记录到沿x方向传播的进行波的波压力为p?t?。设p?t?的最大高度（相对平衡态来说）为H，圆频率为?，试确定所对应的自由面波动的圆频率和振幅。 答：微幅平面进行波的压力分布函数为势为：
p?t??p0??????gz。对于有限水深d，其速度?t??agchk?z?d??sin?kx??t?， ?chkd对时间求导得到：
??chk?z?d???ag?cos?kx??t?； ?tchkd其中a为表面波幅值，?为波动的圆频率，代入到压力分布函数中，得到：
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p?t??p0??agchk?z?d?cos?kx??t???gz chkd当z??d时，代入上式得到：
chk??d?d?cos?kx??t???g??d?chkd
?ag ?p0??gd?cos?kx??t?chkdp?t??p0??ag若波压高度为H，则其幅值为H/2，因此根据上式得到
H?ag，整理得到： ?2chkda?Hchkd 2?g并且从波压分布方程可见，若波压频率为?，则自由波面频率???。
6-5 有一全长70m的船沿某一方向以等速uo航行。今有追随船后并与船航行方向一致的波浪以传播速度c追赶该船。它赶过一个船长的时间是16.5s，而赶过一个波长的时间是6s。求波长及船速uo。
答：设船长为L，波长为?，波速为c，波浪周期为T，则可得到：
?c?u0??16.5?L （1）
?c?u0??6?? （2）
两式相比较得到：
波长：??66， ?L??70?25.45（m）
16.516.5波速：c?1.25??1.25?25.45?6.30（m/s）， 船速：u0?c??6?6.30?25.45。 ?2.06（m/s）
66-6 重力场中有限水深微幅进行波的波面为??Acos?kx??t?，其中A为波幅；设流场的速度势为??Bchk?z?h?sin?kx??t?，试求（1）常数B；（2）波数k与频率?关系；（3）波的传播速度c与波长?的关系。 答：（1）由线性自由表面动力学条件得到：
???1?????B??chk?z?h?cos?kx??t?， g?tg注意到在自由表面z?0，代入上式得到：
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???1?????B??chkhcos?kx??t? g?tg将该式与给定的波面方程??Acos?kx??t?进行比较，可得到：A?B??g?chkh
整理得到：B?Ag。
?chkh（2）将上述常数代入到速度势函数中得到：
??Agchk?z?h?sin?kx??t?， ?chkh??chk?z?h??Agcos?kx??t?， ?tchkh?2?chk?z?h???Ag?sin?kx??t?， ?t2chkh??Agkshk?z?h??sin?kx??t?； ?z?chkh在自由表面z?0上，得到：
?2?chk?0?h???Ag?sin?kx??t???Ag?sin?kx??t?， 2?tchkh??Agkshk?0?h?Agk?sin?kx??t??thkh?sin?kx??t?； ?z?chkh??2????0中，得到： 代入到自由表面条件：2?g?t?z?Ag?sin?kx??t??g?整理得到：??gkthkh。 （3）波速c?22Agk?thkh?sin?kx??t??0，
?T??/2???；
T/2?kgkthkh； g??2?th?2????h?。 ?由??gkthkh，得到??因此：c??k?1gkthkh?k6-7 无限水深中一波浪高度h=1m，而波形的最大坡度角β=π/8。试决定流体质点的旋转角速度。
答：设波面方程为??asin?kx??t?，其中波幅为a?h； ?0.5（m）
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由于任意波倾角（坡度角）为：
tg?????akcos?kx??t? ?x最大波倾角取在波节点处，即cos?kx??t??1；因此：
ak?tg?8，
k?2?tg?8， ?0.828（1/m）
??gk?9.81?0.828?2.85（rad/s）。
6-8两种流体在y=0处有一分界面，流体被限制在y=-h和y=h`之间，若上层流体密度为ρ`，下层流体密度为ρ。证明重力波的波速为c2=g(ρ-ρ`)/k(ρcothkh+ρ`cothkh`)其中k为波数，g为重力加速度，忽略表面张力效应。并讨论两层流体均为无限深的情况。 答：
6-9边长为2a的方形柱置于均匀来流Uo和无限深波浪中，潜深为H，若设该流场的速度势为φ=Uo x+ga/w ekzsin(kx+wt)其中A为波幅，w为频率，k=w2/g为波数。已知无穷远自由面上流体静止，压力为大气压pa。试求 (1)速度场v ; 答：
(2)方柱上下两个面上的压力分布p(含速度平方项V2) ; 答：
(3)方柱所受z方向的合力(含V2项)。 答：
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