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51名校密卷 开江中小学个性化全科教育第一品牌 数学教研组
专题: 一元二次方程（2）
1、公式法：（1）求根公式： ；
（2）公式法解方程：公式法： ；
（3）判断根的情况：① ；
② ；
③ 。 （4）韦达定理： 。
2、分解因式
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
用分解因式解一元二次方程的一般步骤：（1）、 ；（2）、 ；（3）、 ；（4）、 。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从使问题得到简化，这叫换元法．
3、应用
（1）黄金比： 。 （2）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意，设未知数，列出方程，解所列方程求所列
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1/4 方程的解，检验和作答．列一元二次方程解应用题中常见问题：数字问题；增长率问题；形积问题；运动点问题。
（2）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 和根式方程（ ）合称为代数方程．解无理方程关键是要去掉 ，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．注意：
用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注
意验根。
1.公式法
用公式法解下列各方程
1.5x2+2x－1=0 2.6y2+13y+6=0 3.x2+6x+9=7 4.x2+(3?2)x+6=0 1.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 2. 你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗？ 3.（2013?北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 成功的路在你的脚下，走自己的路，走正确的路
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4.（2012?宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F． （1）点E可以是AD的中点吗？为什么？ （2）求证：△ABG∽△BFE； （3）设AD=a，AB=b，BC=c ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系； ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数． 2．分解因式 解下列方程： （1）x(x+1)=0; (2)3x(x－1)=0; (3)(x－1)(x+1)=0; ( 4)(2x－1)(x+1)=0 （5）x2－x+2=0; （6)x2－2x－3=0 （7)x2－5x+6=0;(4)x2+4x+3=0 1解方程 （1）x2－25=0 （2）(x+1)2=(2x－1)2 （3）x2－2x+1=4 （4）x2=4x （5）x2+2x－2=0 （6）3x2+4x－7=0 （7）(x+3)(x－1)=5 （8）(3－x)2+x2=9
（9）.x2+(2+3)x+6=0 （10）(x－2)2+42x=0 （11） (x－2)2=3
2. 求证：如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此方程必有一成功的路在你的脚下，走自己的路，走正确的路
2/4 根是－1. 3. 随着城市人口的不断增加，美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市的绿地面积在2002年的基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末人均绿地的占有量在2002年的基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.（精确到1%） 4. （2012?巴中）解方程：2（x-3）=3x（x-3）． 5. （2000?嘉兴）解方程：（x2-2x）2+（x2-2x）-2=0 3、应用 （2013?重庆）“4?20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． （1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ （2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑12m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 1. 如图，在?ABC中，?B?90?，点p从点A开始沿边AB向点B以1cms的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cms的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，?PBQ的面积等于8cm2? C Q APB
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2. （2013?重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
3. （2013?襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
4. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分
数相同，则平均每月的增长率为？ 1. （2013?南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0． （1）求出方程的根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 2. （2012?绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 3. （2013?荆州）已知：关于x的方程kx2-（3k-1）x+2（k-1）=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1-x2|=2，求k的值． 成功的路在你的脚下，走自己的路，走正确的路
3/4 4. （2013?乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
5. （2013?绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ （2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
1．已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。
2、当m 时，方程?m2?1?x2?mx?5?0不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。
3、用配方法解方程x2?4x?6?0，则x2?4x?___?6?___，所以x1?___,x2?____。 4、如果x2?2?m?1?x?4是一个完全平方公式，则m? 。
5、当 ≥0时，一元二次方程ax2?bx?c?0的求根公式为 。 6、如果x21、x2是方程2x?3x?6?0的两个根，那么x1?x2= ，x1?x2= 。 7、若方程x2?3x?m?0有两个相等的实数根，则m= ，两个根分别为 。 8、若方程kx2?9x?8?0的一个根为1，则k= ，另一个根为 。 9、以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 。 10、关于x的一元二次方程mx2?x?m2?3m?0有一个根为零，那m的值等于 。 11、下列方程中，一元二次方程是（ ）
（A） x2?12（B） ax2?bx（C） ?x?1??x?2??1（D） 3x2?2xy?5y2x?0
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12、方程?2x?3??x?1??1的解的情况是（ ）
（A）有两个不相等的实数根 （B）没有实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有一个实数根
13、如果一元二次方程x2??m?1?x?m?0的两个根是互为相反数，那么有（ ） （A）m=0 （B）m=－1 （C）m=1 （D）以上结论都不对 14、已知x1、x2是方程x2?2x?1的两个根，则11x?的值为（ ） 1x2（A）?12 （B）2 （C）12 （D）-2
15、不解方程，2x2?3x?1?0的两个根的符号为（ ） （A）同号 （B）异号 （C）两根都为正 （D）不能确定
16、已知一元二次方程mx2?n?0?m?0?，若方程有解，则必须（ ） A、n?0 B、mn同号 C、n是m的整数倍 D、mn异号 17、若a为方程x2?x?5?0的解，则a2?a?1的值为（ ） A、12 B、6 C、9 D、16
18、解下列方程
（1）x2?5x?1?0（用配方法） （2）、3?x?2?2?x?x?2? （3）2x2?22x?5?0
（4）?y?2?2??3y?1?2 （5）x2?2x?3?0（配方法） （6）2x2?4x?1?0（配方法）
（7）2x2?x?2(2?x)（公式法） （8）5(x?1)2?7(x?1)（用适当方法）
19、当m为何值时，一元二次方程x2??2m?3?x??m2?3??0有两个不相等的实数根?
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20、不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程x2?7x?2的两根的2倍。
21、已知方程x2?2?k?2?x?k2?4?0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的
值。
22、将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。为了
赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。
23、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米?（7分）
24、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少20kg，现该商场要保证每天盈利6000元， 同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（7分）
26、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动。 (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，梯形PBCQ的面积为33 cm2？(4分) (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？(8分)
(3)设梯形PBCQ的面积为S1,则S1与P、Q移动时间t的函数关系式为 .(1分) 设梯形APQD的面积为S2,则S2与P、Q移动时间t的函数关系式为 .(1分)
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