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2021年东北财经大学经济学院814经济学及概率论与数理统计考研核心题库之概率论与数理统计教程计算题精编
主编：掌心博阅电子书第 1 页，共 40 页
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1． 设总体X的分布函数为
其中未知参数
求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。 【答案】X的概率密度为
(1)由于
令
，解得
，所以参数的矩估计量为
。
为来自总体X的简单随机样本，
(2)似然函数为
当
两边对求导，得
令
，可得
故的最大似然估计量为
2． 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
(1)求条件概率密度
；(2)求条件概率
.
【答案】(1)X的边缘概率密度为
于是，当x＞0时，Y的条件概率密度为(2)
,
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时，，取对数得
。
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则.
3． 设某人持有一个股票期权，那么他能在时刻T的一个固定的价格K买入一个单位的某种股票(如果他愿意的话)。已知该股票每单位现在的价格为S(0)=y，未来时刻T的价格S(T)的百分比变化S(T)/S(0)服从参数为比市场价格低
的对数正态分布，即
，此时期权为其带来的收益为
，求该期权在了时刻的期望价值。
时，期权持有者会执行期权，即以K的价格购买一单位的股票，
。当
【答案】在T时刻，当
时，期权持有者不会执行期权，因而期权为其带来的收益为0,故期权在时刻T的价值为
从而有
4． 假如0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布
(1)求X的数学期望E(X)记E(X)为b) (2)求的置信度为0.95的置信区间
(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。 【答案】(1)由题设，
当置信度为1-α=0.95时, α=0.05,由于标准正态分布的水平为α=0.05的分位数等于1.96,因此由
可得
，即
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，知Y的概率密度为
其中所以有
，
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，
即(-0.98,0.98)就是的置信度为0.95的置信区间 (3)由于是严格单调递增函数，所以
由此知b的置信度为0.95的置信区间为
5． A，B两人轮流射击，每次各人射击一枪，射击的次序为A,B,A,B…，射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p，且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.(提示:分别考虑两枪是由A击中的与两枪是由B击中的两种情况，若两枪是由A击中的，则射击必然在奇数次结束.又当|x|<1时，
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【答案】设设
={A第i次射击击中目标}，={B第i次射击击中目标}，i=1,2,…，A,与B,相互独立.
6． 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.
【答案】记X为正常工作的部件数，显然X～b(100,0.9),由棣莫弗一拉普拉斯定理知近似地服从N(0，l).从而
即整个系统起作用的概率为0.9525.
7． 设总体
，其中
为未知参数，
是取自于X的样本。
={击中的两枪是由A中的}，={击中的两枪是由B击中的},
(1)修正的最大似然估计为无偏估计。 (2)利用构造的l-α置信区间。 【答案】(1)似然函数为
于是
，
关于严格单调减少，故似然函数的最大值应在左边界得到，注意到
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