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即 x?2y?2z?4?0；………………6分 法线方程为
x?2y?1z??. ………………7分 122又最大周长一定存在，故当x?y?2．计算积分
3.交换积分次序，并计算二次积分解：=
??0dx??xsinydy； y?L2时有最大周长. ………………7分 2(x2?y2)ds，其中L为圆周x2?y2?ax (a?0)．
解：L的极坐标方程为 ??acos?，?则ds?所以
23xy???zdxdydz ??2??0dx??x?ysinysinydy =?dy?dx ………………4分
00yy????2；………………2分
?2?(??)2d??ad?，………………4分
??232?L??0sinydy?2 ………………7分
?(x?y)ds??2??ad???2?acos?d???2222?a32．………………7分
4．设?是由曲面z?xy,y?x,x?1及z?0 所围成的空间区域，求I?解：注意到曲面z?xy经过x轴、y轴，………………2分
或解：L的形心(x,y)?(,0)，L的周长?a，
a2?={(x,y,z):0?z?xy,0?y?x,0?x?1} ………………4分
1xxy12323故I????xyzdxdydz??dx?dy?xyzdz=． ………………7分
000364?
5．求幂级数解：S(x)??L(x?y)ds=?axds=ax?a=
L22?a33．利用格林公式，计算曲线积分I??L2(x2?y2)dx?(x?2xy)dy，其中L是
由抛物线y?x2和x?y2所围成的区域D的正向边界曲线． 解：I??nxn?1??n?1的和函数S(x)，并求级数?nn的和．
n?12??(xL2?y2)dx?(x?2xy)dy
y y?x2 x?y2 D ?nxn?1n?1， S(0)?1，
???dxdy ………………3分
D ?由已知的马克劳林展式：1?1?x??xn,|x|?1，………………2分
n?1??10dx?2dy ………………5分
xx ?1 ………………7分
3O x
有S(x)?(?1?1)?=1，|x|?1，………………5分 nx)?(??1?x(1?x)2n?1?n?14． 计算
??xdS，?为平面x?y?z?1在第一卦限部分.
?解：?在xoy面上的投影区域为Dxy:x?y?1(x?0,y?0) ，………………2分
又?:z?1?x?y,n=1n?2?22n?1nn?1=1S(1)=2 ………………7分
22?z?z??1,??1,故dS?3dxdy，………………4分 ?x?y11?x00四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解 设两个直角边的边长分别为x，y，则x2?y2?1，周长C?x?y?1， 需求C?x?y?1在约束条件x2?y2?1下的极值问题． ………………2分
设拉格朗日函数L(x,y,?)?x?y?1??(x2?y2?1)，………………4分
所以
??xdS?3??xdxdy?3?dx??Dxyxdy?3. ………………7分 6或解：由对称性，
??xdS??113(x?y?z)dS?dS? ??3??36??222z?x?ydxdy+dydz+dzdx，其中为锥面?蝌?Fx?1?2?x?0,?令?Fy?1?2?y?0, ?x2?y2?1,?解方程组得x?y?5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
S介于平面z?0及z?1之间的部分的下侧。
解：补曲面D:x?y?1,z?1（取上侧），………………2分 由高斯公式知
222为唯一驻点， ………………6分 25 页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第
2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第6 页蝌dxdy+dydz+dzdx＝0， ………………4分
S+D故
蝌dxdy+dydz+dzdx
S＝-＝?
蝌dxdy+dydz+dzdx
D{x2?y2?1}??dxdy=?? ………………7分