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4．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC
边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，
四边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是 ；②当k= 2时，是 ；③当k= 3时，是 . 并证明．．．k= 2时的结论.
A
E O D
B P C 5．
观察思考：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得OH =4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米． 解决问题： （1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米． （2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位 置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？ （3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米； ②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
滑道 滑块 连杆
图14-1 l
H Q
P O 图14-2
l
H （Q）
P O 图14-3
6．(9分)如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在
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AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由； (3)求证：∠APC＝∠BPC．
D E
M A C
N B
部分答案
【变式练习】 解：（1）CG=EG……………………… 1分 （2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，
A ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．
E ∴ AG=CG．………………………2分 F 在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
B ∴ △DMG≌△FNG． 图 2 ∴ MG=NG …………………………3分 在矩形AENM中，AM=EN． ……………4分
A 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG， G F ∴ △AMG≌△ENG． E ∴ AG=EG．…………………………5分 ∴ EG=CG． ……………………………6分
B （3）（1）中的结论仍然成立．………………7分 图3
M G N D
N C D
C
【例2】
【例3】
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【例4】
【例5】
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解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=2． 连结P P′，
在Rt△BP′P中，
∵ BP=BP′=2，∠PBP′=90°，
∴ P P′=2，∠BP′P=45°． ………………………………2分 在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=5， ∵ 1?2?(5)，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．
∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°．
∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． ………………………………………………… 4分 （2）过点B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E． ∴ ∠EP′ B=45°. ∴ EP′=BE=1. ∴ AE=2.
∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5． ……………………………… 7分 ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5．
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能力检测：
【题1】解: （1）?EBF? 30° ?QFC= 60°..................................2分 （2）?QFC=60°.....................................1分
不妨设BP＞3AB, 如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ..........................................2分 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ（SAS）..............3分 ∴∠AEQ=∠ABP=90°....................4分 ∴∠BEF?180???AEQ??AEB?180??90??60??30?
∴?QFC=?EBF??BEF?30??30??60°…………………………............5分 (事实上当BP≤3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分） (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G
∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=23，由（1）得?EBF?30°
在Rt△BGF中，
BG?BEBG?2?3cos30?2 ∴BF= ∴EF=2.......1分
∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF=QE＋EF?x?2................2分 过点Q作QH⊥BC，垂足为H
在Rt△QHF中，
y?QH?sin60?QF?3(x?2)2（x＞0）
y?即y关于x的函数关系式是：【题2】
3x?32.......................................................3分