loading考点一：等差数列的基本量的求解
1、在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn[1＋3－2n]
2
n＝
2
＝2n－n.
进而由S2
k＝－35可得2k－k＝－35. 即k2
－2k－35＝0，解得k＝7或－5. 又k∈N*，故k＝7为所求．
2、知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝( A．85 B．135 C．95 D．23 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则???
2a1＋4d＝4，?2a解得??
a1＝－4，
?
1＋6d＝10，
??
?
d＝3.
∴S－4)＋10×9
10＝10×(2
×3＝95.
考点二：等差数列的判定与证明
1、若数列{a1
n}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝2
.
(1)求证：??1?
?S?成等差数列；
n?
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得SS11
n－n－1＝－2SnSn－1，所以S－＝2，
nSn－1
又11
S＝＝2，故??1?
?是首项为2，公差为2的等差数列． 1a1?Sn?
(2)解 由(1)可得1S＝2n，∴S1n＝n.
n2当n≥2时，
)．1
11n－1－n1
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
2n2n－12nn－12nn－11
当n＝1时，a1＝不适合上式．
21??2，n＝1，故a＝?1
－??2nn－1
n，n≥2.
3
nn
2、已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3设bn＝
n＋1
－2.
nan－2n3
n.证明：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
证明 ∵bn＋1－bn＝
an＋1－2n＋1an－2n3an＋3n＋1－2n－2n＋13an－3·2n3
n＋1
－＝
3
n＋1
－
3
n＋1
＝1，
∴{bn}为等差数列，又b1＝
a1－2
3
n＝0.
∴bn＝n－1，∴an＝(n－1)·3＋2.
考点三 等差数列的性质及应用
1、(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )． A．－6 B．－4 C．－2 D．2
(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________． 解析 (1)S8＝4a3?6.
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210. 答案 (1)A (2)210
2、已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________. 解析 ∵{an}为等差数列， ∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列， ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)． ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6 ＝2(S6－S3)－S3 ＝2(36－9)－9＝45. 答案：45
2
8a1＋a8
2
＝4a3?a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－
3、(1)(2012·辽宁卷)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )． A．58 B．88 C．143 D．176
(2)(2013·北京卷)若等比数列{an}满足：a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和
Sn＝________.
解：(1)由a1＋a11＝a4＋a8＝16，得
S11＝
11a1＋a1111
＝
2
a4＋a8
211×16＝＝88.
2
(2)由已知，得
a3＋a5qa2＋a4
＝＝q＝2， a2＋a4a2＋a4
a11－qnn＋1
又a1＝2，所以Sn＝＝2－2.
1－q
4．记Sn为等差数列{an}前n项和，若－＝1，则其公差d＝( )．
321
A. B．2 C．3 D．4 2解析 由－＝1，得
32
S3S2
S3S2a1＋a2＋a3a1＋a2
3
－
2
＝1，
即a1＋d－?a1＋?＝1，∴d＝2.
2??答案 B
5．在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于( )． A．21 B．30 C．35 D．40
解析 由题意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35. 答案 C
6.在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )． A．37 B．36 C．20 D．19
解析 由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37. 答案 A
7.{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝( )． A．40 B．35 C．30 D．28
7a1＋a77a1＋5
解析 设公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，
22210×910×92
所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.
3223答案 A
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝( )．
3
?
d?
A．－14 B．－13 C．－12 D．－11 解析 在等差数列中，S13＝答案 D
9．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________. 解析 a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99. 答案 99
10．已知等差数列{an}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{an}的通项an＝________.
解析 由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案 2n－1
11．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________. 解析
*
13a1＋a13
2
＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.
S33a1＋a33a2353＝＝＝×＝. S55a1＋a55a3522
答案 3∶2
12．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
解 (1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1＝1×(a1＋2)，即a1－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a1＋8a1，即a1＋3a1－10＜0，解得－5＜
2
2
2
2
a1＜2.
故a1的取值范围是(－5,2)．
10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并求an与Sn.
(2)是否存在自然数n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)＝2 015？若存在，求出n的值；若不存在，
23n请说明理由．
证明 (1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 即an－an－1＝4，
故数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．
Snn*
S2S3Sn2
Snn*
4