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．
∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1， ∵点C的坐标为（3，2∴CD＝3，OD＝2
．
），
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点， ∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°． ∵CP2＝CA＝4，CD＝3， ∴DP2＝
＝
．
∵点C为圆心，CD⊥P1P2， ∴P1D＝P2D＝∴P2（0，2
﹣．
）．P1（0，2
+
）．
②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P3（0，﹣2
﹣
）．P4（0，﹣2
+
）．
综上所述：满足条件的点P的坐标有： （0，2
﹣
）、（0，2
+
）、（0，﹣2
﹣
）、（0，﹣2
+
）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大． 由sin∠AEH＝
得：当AE最小即
PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2． ∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°． ∴四边形OPEH是矩形． ∴OP＝EH，PE＝OH＝3． ∴EA＝3．
∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3， ∴EH＝＝＝
）．
∴OP＝∴P（0，
②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P（0，﹣理由：
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）．
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合）， 连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示． ∵∠ANB是△AMN的外角， ∴∠ANB＞∠AMB． ∵∠APB＝∠ANB， ∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上， 同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值， 此时点P的坐标为（0，
）和（0，﹣
）．
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2020年中考数学压轴题每日一练（5.9）
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（
，0）
B．（2，0）
C．（
，0）
D．（3，0）
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
﹣1
D．2﹣
二、填空题
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为 ．
第3题 第4题
4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ． 三、解答题
5．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点
．点O是△MNG内一点，则点OA运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运
动时间为x（s）．
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（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；
（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形； （3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△
ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．
6．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，
（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点
D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD
①请说明△ADB∽△OPB；
②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；
③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由． （2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D， ∵∠ACO+∠BCD＝90°， ∠OAC+∠ACO＝90°， ∴∠OAC＝∠BCD， 在△ACO与△BCD中，
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∴△ACO≌△BCD（AAS） ∴OC＝BD，OA＝CD， ∵A（0，2），C（1，0） ∴OD＝3，BD＝1， ∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝将B（3，1）代入y＝∴k＝3， ∴y＝
，
，
，
，
∴把y＝2代入∴x＝
，
当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了∴C也移动了
个单位长度，
个单位长度，
，0）
此时点C的对应点C′的坐标为（故选：A．
2．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2＝2
，可得BF﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值
最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值． 【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，
∵旋转 ∴AD＝AE
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°
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