loading∵∠B＝90°， ∴BP＝BD?tan30°＝
，
②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．
∵∠Q′DB＝∠QDP＝60°， ∴∠Q′DQ＝∠BDP， ∵Q′D＝BD，QD＝PD， ∴△Q′DQ≌△BDP（SAS），
∴QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°， ∴点Q的运动轨迹是线段QQ′，
当动点P从点B运动到点A时，QQ′＝AB＝∴点Q运动路径的长为
．
，
6．【分析】（1）用待定系数法进行解答便可；
（2）①设出P点的横坐标为m，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程便可；
②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，设OM＝x，根据勾股定理求出x值，求得M点坐标，进而求出直线BM与抛物线的交点坐标便可得出其中一个满足条件的P点坐标；再取M关于x轴的对称点K的坐标，进而求得BK与抛物线的交点坐标，便可得另一个满足条件的P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：（2）令x＝0，得∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∵B（3，0），
； ＝4，
6
∴OB＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝设P（m，∴DP＝∴
，
，
），则D（m，
），
，DE＝m，
∵∠BOC＝∠PDE＝90°，
∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况： 当△PDE∽△BOC时，则解得，m＝∴P（
，
， ）；
，即
＝
，
，即
＝
，
当△PDE∽△COB时，则解得，m＝2， ∴P（2，4）．
综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（，）或（2，4）；
②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1， 则∠PBA＝
∠ABC，OM＝MN，
在Rt△BOM和Rt△BNM中，
，
∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL）， ∴BN＝BO＝3，
设OM＝t，则MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，
CN＝BC﹣BN＝
∵MN2+CN2＝MC2， ∴t2+22＝（4﹣t）2， ∴t＝
，
﹣3＝2，
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∴M（0，），
（m≠0）， ，
，
设BM的解析式为：y＝mx+代入B（3，0）得，m＝
∴直线BM的解析式为：y＝﹣
解方程组得，，，
∴p（，），
）关于x轴的对称点，K（0，﹣∠ABC，
（p≠0），
），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，
取M（0，则∠ABP＝
设直线BK的解析式为y＝px代入B（3，0）得，p＝
，
∴直线BK的解析式为：y﹣，
解方程组得，，
∴P'（，），
∠ABC的点P的坐标为（
，
）或（
，
）．
综上，使∠PBA＝
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2020年中考数学压轴题每日一练（5.4）
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，
N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的个数有（ ） ①AE＝CF；②EC+CF＝
AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．
A．1个 二、填空题
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为 ．
B．2个
C．3个
D．4个
第3题 第4题
4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ． 三、解答题
5．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现
如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为 ，线段AE、BE、CE之间的数量关系是 ； （2）拓展探究
如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段
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AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．
，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，
6．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点P有 个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，
MN最小值为OP﹣OF＝
不难解决问题．
，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5 ∵∠OPB＝90°， ∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
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