loading2020年中考数学压轴题
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，
B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（ ）
A．
B． C．
D．
2．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于
P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的
边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 二、填空题
3．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则
B．5次
C．6次
D．7次
AE的长为 ．
第3题 第4题
4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为 ．
三、解答题
5．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴
1
上，连结AC，OA＝3，∠OAC＝30°，点D是BC的中点，
（1）OC＝ ：点D的坐标为
（2）若点E在线段0A上，直线DE把矩形OABC面积分成为2：1，求点E坐标； （3）如图2，点P为线段AB上一动点（与A、B重合），连接DP；
①将△DBP沿DP所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BP的长；
②以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPQ，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，请直接写出点Q运动路径的长．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．
①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接
PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；
②请直接写出使∠PBA＝
∠ABC的点P的坐标．
【答案与解析】
一、选择题
1．【分析】可证△ABF≌△AC′E（AAS）、△CDE≌△B′DF（AAS），则B′D+DE＝CD+ED＝x，y＝的EC′边上的高，即可求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，
EC′×△AEC′
2
则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′， ∴△ABF≌△AC′E（AAS）， ∴BF＝C′E，AE＝AF， 同理△CDE≌△B′DF（AAS）， ∴B′D＝CD，
∴B′D+DE＝CD+ED＝x，
AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高， BC＝2y＝
＝B′C′，
（2
）＝﹣
EC′×△AEC′的EC′边上的高＝x+，
故选：B．
2．【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直
AB于P点，设O1O2交圆O于M，求出PM＝4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点， 设O1O2交圆O于M， ∴PM＝8﹣3﹣1＝4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切， ∴根据图形得出有5次． 故选：B．
二、填空题
3．【分析】利用菱形的面积公式：
?AC?BD＝BC?AE，即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4， ∴AB＝BC＝5，
3
∵?AC?BD＝BC?AE，
，
，
∴AE＝
故答案为：
4．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠C＝90°，
又∵BC＝2cm，∠ABC＝60°， ∴AB＝2BC＝4，AC＝2
，
则AP＝（4﹣2t）cm，AQ＝t，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动， ∴0＜t≤2，
①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则 △APQ∽△ABC， ∴∴
解得t＝3﹣
，
， ，
②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB， 则故解得t＝故答案为：3﹣
， ，
， ，
．
三、解答题
5．【分析】（1）在Rt△AOC中，解直角三角形求出OC即可解决问题．
（2）设E（m，0）．由题意，分两种情形：SOEDC＝
四边形OEDC＝
?（CD+OE）?OC＝?S矩形OABC或S四边形
?（CD+OE）?OC＝?S矩形OABC，分别构建方程即可解决问题．
4
（3）①如图1﹣1中，在Rt△DPB中，解直角三角形求出PB即可．
②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．证明△Q′DQ≌△BDP（SAS），推出QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°，推出点Q的运动轨迹是线段QQ′，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°，
∵OA＝3，∠OAC＝30°， ∴OC＝OA?tan30°＝故答案为
，（
，
， ）．
?S矩形OABC或S四边形OEDC＝（?CD+OE）
（2）设E（m，0）．由题意，S四边形OEDC＝（?CD+OE）?OC＝?OC＝∴∴
?S矩形OABC，
×3××3×或2
﹣
或或
?（CD+OE）?OC＝?（
+m）?OC＝
?（CD+OE）?OC＝?（
+m）?
＝﹣
×3×
，
，
×3×
解得，m＝4．
（3）①如图1﹣1中，
∵tan∠OAC＝∴∠OAC＝30°， ∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
设将△DBP沿DP所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处， 则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF， ∴∠DB'C＝∠ACB＝30° ∴∠BDB'＝60°， ∴∠BDP＝∠B'DF＝30°，
5
，