loading1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
A级：基础巩固练
一、选择题
1．函数y＝(3x－4)的导数是( ) A．4(3x－2) C．6x(3x－4) 答案 D
解析 ∵y′＝[(3x－4)]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)． 12
2．若函数f(x)＝f′(－1)x－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
2A．0 B．－1 C．1 D．2 答案 B
12
解析 ∵f(x)＝f′(－1)x－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－
21)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.
3．函数y＝f(2e)，则导数y′＝( ) A．2f′(2e) C．2ef′(e) 答案 D
解析 ∵y＝f(2e)，∴y′＝(2e)′·f′(2e)＝2ef′(2e)．故选D． 4．曲线y＝xe
x－1
xxxxxxxxx2
2
B．6x D．6(3x－4)
B．2ef′(x) D．2ef′(2e)
xxx在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1 答案 C
解析 由题意可得y′＝e
x－1
＋xe
x－1
，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C．
π??5．要得到函数f(x)＝sin?2x＋?的导函数f′(x)的图象，只需将f(x)的图象( ) 3??π
A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
2π1
B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
22π1
C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
42π
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
4答案 D
π?π?ππ????解析 ∵f(x)＝sin?2x＋?，∴f′(x)＝2cos?2x＋?＝2sin?2x＋＋?＝3?3?32????
??π?π?2sin?2?x＋?＋?，
4?3???
π
∴由f(x)得f′(x)只需向左平移个单位，再把各点纵坐标伸长到原来的2倍．
46．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案 B
解析 设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln (x0＋a)，所以x0＋1＝ln (x0＋a) ①，对y＝ln (x＋a)求导得y′＝所以a＝2.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x·f′(2)＋5x，则f′(2)＝________. 5答案 －
3
解析 ∵f(x)＝x·f′(2)＋5x， ∴f′(x)＝2f′(2)·x＋5， ∴f′(2)＝2f′(2)×2＋5， 5
∴3f′(2)＝－5，∴f′(2)＝－.
3
8．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e线方程是________．
答案 2x－y＝0
解析 设x>0，则－x<0，因为x≤0时f(x)＝e
－x－1－x－1
2
2
11，则＝1，则x0＋a＝1 ②，②代入①可得x0＝－1，x＋ax0＋a－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切
－x，所以f(－x)＝e
x－1
＋x，又因为
f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
?π1?2
9．函数y＝sinx的图象在点A?，?处的切线的斜率是________．
?64?
答案
3 2
∵y′＝(sinx)′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x，
2
解析
3?π1?∴曲线在点A?，?处的切线的斜率为. 2?64?
三、解答题
10．求下列函数的导数．
?211?(1)y＝x?x＋＋3?；
?
xx?
?1－1?
(2)y＝(x＋1)??；
?x?
(3)y＝x－sincos；
22
(4)y＝3ln x＋a(a>0，且a≠1)． 1?211?3
解 (1)∵y＝x?x＋＋3?＝x＋1＋2，
xxx?xx?
x22
∴y′＝3x－3.
x111?1－1?
(2)∵y＝(x＋1)??＝x·－x＋－1＝－x＋，
?x?xxx2x1?－x＋1?
∴y′＝?＋ ?′＝－
xx??2x1?1?＝－?1＋?.
2x?x?
－
1
xx???1?(3)y′＝?x－sincos?′＝?x－sinx?′ 22???2?
1
＝1－cosx.
2
3xx(4)y′＝(3ln x＋a)′＝＋aln a(a>0，且a≠1)．
xB级：能力提升练
11．求函数y＝解 函数y＝
1＋3x1＋3x4
4
在x＝2处的导数．
－4
－4
＝(1＋3x)可以看作函数y＝t和函数t＝1＋3x的复合函数，
根据复合函数求导法则可得
y′x＝y′t·t′x＝(t－4)′·(1＋3x)′＝－4t－5×3
＝－12(1＋3x). 函数y＝
1＋3x4
－5
12－5
在x＝2处的导数为y′|x＝2＝－12×(1＋3×2)＝－5.
7
12．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
2
解 (1)设f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax＋2bx＋C．
由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组
??3a＋2b＝－3，???12a＋4b＝0，
3
2
32
2
解得?
??a＝1，
??b＝－3，
所以f(x)＝x－3x＋3.
(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b， 则f(x)、f′(x)代入方程，
得x(2ax＋b)－(2x－1)(ax＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1. 解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x＋2x＋1.
2
2
2
2
2