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第十讲：二元一次方程组
一、相关知识点
1、 二元一次方程的定义：
经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。
2、二元一次方程的标准式： ax?by?c?0?a?0,b?0? 3、 一元一次方程的解的概念：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解。 4、 二元一次方程组的定义：
方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
5、 二元一次方程组的解：
使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 二、典型例题
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）
，?x?y?1，x?1， Ｂ．?x?y?1Ａ．? Ｃ． Ｄ．?y?x， ?????xy?0．?x?y?0．?y?2?3．?x?2y?1．x?3，x?2y?5?0，2．有这样一道题目：判断?是否是方程组?的解？ ??y?1??2x?3y?5?0x?3，
小明的解答过程是：将x?3，y?1代入方程x?2y?5?0，等式成立．所以?是?
?y?1x?2y?5?0，方程组?的解． ??2x?3y?5?0 小颖的解答过程是：将x?3，y?1分别代入方程x?2y?5?0和2x?3y?5?0中，
得x?2y?5?0，2x?3y?5?0．所以?
?x?3，?x?2y?5?0，不是方程组?的解．
?y?1?2x?3y?5?0第3页 共5页
你认为上面的解答过程哪个对？为什么？
3．若下列三个二元一次方程：3x－y=7；2x+3y=1；y=kx－9有公共解，那么k的取值应是（ B ）
A、k=－4 B、k=4 C、k=－3 D、k=3
分析：利用方程3x－y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x、y，再代入y=kx－9求出k值。 解??3x?y?7?①?x?2 得：?
?y??1?2x?3y?1?② 将??x?2代入y=kx－9，k=4
y??1???6m?3n?1?0??3m?2n?10?04．解方程组??1? ?2?方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 n?10?3m2，得 m??3? 把（3）代入（1）
4 34把m?代入（3），得 n?3 ∴
3方法二：（加减消元法）
解：（2）×2： 6m+4n－20=0 (3) (3)－(1): 7n=21 n=3
4?m??3 ???n?34?4?m?把n?3代入（3），得m? ∴ ?3
3??n?3方法三：（整体代入法）
解：由（1）得：2?3m?2n??7n?1?0由（2）得：3m?2n?10?3?
，得 n?3 ?4? 把（4）代入（3）
4把n?3代入（4），得m? ∴
3方法三：（整体代入法）
4??m?3 ???n?3第3页 共5页
解：由（1）得：2?3m?2n?10??7n?21?0由（2）代入（3），得n?3
?3?
4?4?m?把n?3代入（2），得m? ∴ ?3
3??n?35．已知方程组?是（
?2a?3b?13?a?8.3?2?x?2??3?y?1??13的解是?，则方程组?的解
?3a?5b?30.9?b?1.2?3?x?2??5?y?1??30.9C ）
?x?8.3?x?10.3?x?6.3?x?10.3A．? B．? C．? D．?
y?1.2y?2.2y?2.2y?0.2?????45?x?y?13?6．?
45???3??xy解：设a??11?4a?5b?13,b?，则原方程组可化为?xy??4a?5b?3?1? ?2?解得：??a?2
?b?11?x??∴?2 ??y?17．解方程组???x:y?3:2??3x?5y?3?1? 2??解：（参数法）∴
x3? ∴设x?3k,y?2k。 y2把x?3k,y?2k代入（2），得：k??3
?x??9∴?
y??6?8．解三元一次方程组
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?x?2y?z?8??x?y??1?x?2z?2y?3?分析：
二元一次方程组
解：由（２）得：
消元
转化
三元一次方程组 (1)(2) (3)消元
一元一次方程组 转化 x?y?1(4)
?3y?z?9?y?2z??4(5)(6)
把（４）分别代入（1）、（3）得，?由（6）得 y?2z?4(7) 3(2z?4)?z?9把（７）代入（５）得：
6z?12?z?97z?21z?3
把z?3代入（７）得：
y?2?3?4
y?2?x?1?把y?2代入（4）得： x?2?1?1 ∴ ?y?2
?z?3?9．字母系数的二元一次方程组 （1）当a为何值时，方程组?分析：
（2）×2：6x+2y=6 (3) (3)－(1): (6－a)x=5
?ax?2y?1有唯一的解
?3x?y?3第3页 共5页
当a≠6时，方程有唯一的解x?5 6?a（1） 当m为何值时，方程组?分析：
（1）×2：2x+4y=2 (3) (3)－(2): (4－m)y=0
?x?2y?1有无穷多解
?2x?my?2 4－m=0即m=4，有无穷多解
10．一副三角板按如图方式摆放，且?1的度数比?2的度数大50，
若设?1的度数为x，?2的度数为y，则得到的方程组为 A．?12?x?y?50，?x?y?50，?x?y?50，?x?y?50， B．? C．? D．?
x?y?180x?y?180x?y?90x?y?90????11．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x 平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ） A．??0.9x?1.1y?1.1x?0.9y?0.9x?1.1y?1.1x?0.9y B．? C．? D．?
?y?x?24?x?y?24?x?y?24?y?x?2412．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数 （千克） 每千克价格 6元 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 5元 4元 40千克以上 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。 解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意0 第3页 共5页