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AB′B′D12
＝，即＝，∴CE＝6－2； DC′C′E3－2C′E
(2)连接AC，
BC3
∵tan∠BAC＝＝＝3，
AB1∴∠BAC＝60°，故∠DAC＝30°. 又∠DAE＝22.5°，
∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝30°－22.5°＝7.5°， 由折叠得，∠B′AE＝∠BAE＝67.5°， ∴∠B′AF＝67.5°－22.5°＝45°， ∴AF＝2AB′＝2， ∴DF＝3－2，
152
∵∠DFG＝∠B′FA＝45°，∠D＝90°，∴DF＝DG，∴S△DFG＝×(3－2)＝－6；
22(3)如答图，连接AC，AC′，则AC＝AC′＝2，
∴点C′的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧；当点E运动到点D时，点C′恰好在CD的延长线上，此时∠CAC′＝60°，
60π×22π
∴点C′的运动路径长是＝.
1803
16．(2017枣庄中考)已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC.
(1)如图①，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；
(2)如图②，若点P为线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
(3)如图③，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB＝a，BP＝b，求a∶b及∠AEC的度数． 解：(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB＝BC，BP＝BF，∴AP＝CF， 在△APE和△CFE中，
∵AP＝CF，∠P ＝∠F，PE＝EF， ∴△APE≌△CFE，∴EA＝EC； (2)△ACE是直角三角形，理由如下： ∵P为AB的中点，∴PA＝PB. ∵PB＝PE，∴PA＝PE， ∴∠PAE＝45°. 又∵∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形； (3)如答图，设CE交AB于G.
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG， ∴AP＝PG＝a－b，
BG＝a－(2a－2b)＝2b－a， ∵PE∥CF， ∴
PEPG＝， BCGB
ba－b即＝， a2b－a解得：a＝2b.
∴a∶b＝2∶1，作GH⊥AC于H， ∵∠CAB＝45°，
AG＝2AP＝2(a－b)＝22b－2b， ∴HG＝
22
AG＝(22b－2b)＝(2－2)b. 22
又∵BG＝2b－a＝(2－2)b，∴GH＝GB， ∵GH⊥AC，GB⊥BC， ∴∠HCG＝∠BCG， ∵PE∥CF，
∴∠PEG＝∠BCG，∴∠AEC＝∠ACB＝45°.