loading正弦定理、余弦定理和解斜三角形
【注】实战练对应本讲全部内容，（A）和（B）同学们可根据自己的学习情况选定一组（或
由老师指定），其中（B）组题对解题能力要求高于（A）组 一、填空题（3?10=30分） 1．在ΔABC中，已知a?3,b?1,B?π，则c?___________ 62．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为4:3，则它的顶角的正切值是__________ 3．在ΔABC中，若sinAsinB?sinAcosB?cosAsinB?cosAsinB?cosAcosB?2，那么三角形的形状为_______________
4．在ΔABC中，?cotA?1??cotB?1??2，则log2sinC?_______________ 5．在ΔABC中，A?πa?b?c,b?1,S?3，则? 3sinA?sinB?sinC6．在锐角ΔABC中，若tanA?t?1,tanB?t?1，则t的取值范围是__________
sin2B?sin2C?sin2A?1，则A?________________ 7．在ΔABC中，若
sinBsinC8．在ΔABC中，已知a?2,A?π，若此三角形有两解，则b的取值范围是__________________ 49．(A)在ΔABC中，A?C?2B,b2?ac，则三角形的形状为________________
(B) 已知A?B?C??，且sinA?cosB?cosC，则在
cotB?cotC、tanB?tanC、sinB+sinC及cosB?cosC中必为常数的有_________ 10．(A)在ΔABC中，c?1,a?2，则C的取值范围是__________________
(B)已知三角形的三边长分别是2a?3,a?3a?3,a?2a?a?0?，则三角形的最大角
22等于______________
二、 选择题 （3?4=12分）
11．在ΔABC中，sinA?sinB?cosA?cosB是C?π （ ） 2A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
12．在ΔABC中，若sinA:sinB:sinC?3:4:5则此三角形是 （ ） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13．在ΔABC中，若acos2CA3b，那么其三边关系式为 （ ） ?ccos2?222A.a?b?2c B. a?c?2b C.b?c?2a D. 2a?2c?3b
14．(A)在ΔABC中，a,b,c为三角形三条边，且方程x2?2cx?a2?b2?0有两个相等的实数根，则该三角形是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
(B)已知关于x的方程x?x?cosAcosB?1?cosC?0的两根之和等于两根之积的
一半，则ΔABC是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
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2三、解答题 （10+10+12+12+14=58分） 15．在ΔABC中，若sinBsinC?cos2A，试判断三角形的形状 2
16．在ΔABC中，若?a?b?c??a?b?c??ac，求B。
17．在ΔABC中，若4sin2值。
18．(A)已知A码头在B码头的南偏西75处，两码头相距200千米，甲、乙两船同时分别
由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的速度。（1海里=1.852千米）（精确到0.1海里） (B)甲船在A点发现乙船在北偏东60?的B点处，测的乙船以每小时a海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时3a海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇？
19、(A)在ΔABC中，若sinA?sinB?sinC，（1）判断三角形的形状；（2）如果三角形面积
cosB?cosC?B?C7（1）求A；（2）若a?3,b?c?3，求b,c的?cos2A?。
22为4，求三角形周长的最小值。
(B)三条线段长分别为sin?,sin?和sin?????，其中?、???0，?，是否能以此
????2?三条线段构成三角形？并说明理由。
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正弦定理、余弦定理和解斜三角形答案
一、填空题 1. 2或1 2.
48 551 23. 等腰直角三角形 4.?5.
239 36. (2，??) 7.
? 38. 2,22
9. （A）等边三角形，(B)tanB?tanC 10. （A）??0,???????, (B)120
6??二、选择题
11. C 12. B 13. B 14.（A） A (B) A 三、解答题
15. 由sinBsinC?cos2A，得2sinBsinC?1?cosA?1?cos?B?C?，化简得cos?B?C??1，2????B?C??，?B?C，即?ABC是等腰三角形。
22216. ??a?b?c??a?b?c??ac，?b?a?c?ac，
a2?c2?b2a2?c2?a2?c2?ac1?cosB????，?B?120?
2ac2ac217. （1）由题设得2?1?cos?B?C???2cos2A?1???772，即2?1?cosA??2cosA?1?，解得22b2?c2?a2111??，即?b?c?2?a2?3bc，将（2）?cosA?,?cosA?，故A?60；
2bc222a?3,b?c?3代入，得bc?2，解得b?2,c?1或b?1,c?2。
18. (A)如右图，设两船在
C处相遇，由题意，
?ABC?60?,AB?200,BC?200?1.852?370.4（单位：
千米）。 所以AC2?2002?370.42?2?200?370.4?0.5?103116.16
即AC?321.1170503千米，所以甲船的速度为
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321.1170503?34.7海里/小时。
5?1.852（B）设两船的相遇处为点C，如图：，可知，在?ABC中，B?120，
?AB为定值，AC,BC分别是甲船与乙船在相同时间里的行程。由
已知条件显然有AC:BC?3a:a?3:1，由正弦定理可得
sinA?BC1sinB?，再由0?A?60?，得A?30?，即甲船AC2?航行的方向为北偏东30。
?a2?c2?b2a2?b2?c219. (A)（1）由正弦定理、余弦定理得a???2ac2ab????b?c， ???2bc?b?c??a2?b?c??b2?c2?c?b?，?b?c?0，两边同除以b?c，得 ?2bc?a2??b?c??c?b?，化简得b2?c2?a2，?A?90?，?ABC为直角三角形。
（2）?A?90，?S?????1bc?4,?bc?8。所以周长 2C?a?b?c?b2?c2?b?c?2bc?2bc?42?1;，当且仅当b?c时等号成立。
因此三角形周长的最小值为42?1，此时b?c?22.
????(B)由于?、??????0，?， ?2?，
sin??sin??sin??????sin??sin??sin?cos??cos?sin??sin??1?cos???sin??1?cos???0即sin??sin??sin?????。
sin??sin??????sin??sin??sin??????sin?????cos??cos?????sin??sin??????1?cos???sin??1?cos???????0 即sin??sin??????sin?。同理可证sin??sin??????sin?。
所以可构成三角形。
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