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考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由向量的垂直和平行的性质得到θ的三角函数式，然后化简解答． 解答： 解；（1）若⊥，则以tanθ=﹣
；
），则2sinθsin（θ+
，所以
），2θ﹣
∈（﹣
，
），所以2θ﹣
=
）=1，整理得sinθ+
2
=sin（θ+）+2sinθ=0，所以5sinθ+cosθ=0，所
（2）若∥，且θ∈（0，=1，所以=，θ∈（0，
sinθcosθ
）
，即sin（2θ﹣，所以θ=
．
点评： 本题考查了向量的垂直和平行的性质以及运用三角函数公式化简三角函数并求值．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC． （1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：
（2）若过点A作直线l上平面ABC，求证：l∥平面PBC．
考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）由已知得AB⊥平面PBC，从而CP⊥AB，又CP⊥PB，从而CP⊥平面PAB，由此得到CP⊥PA．
（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D，由已知得PD⊥平面ABC，从而l∥PD，由此能证明l∥平面PBC．
解答： （1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC， AB?平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC． 因为CP?平面PBC，所以CP⊥AB．
又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB?平面PAB， 所以CP⊥平面PAB，
又因为PA?平面PAB，所以CP⊥PA．
（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D． 因为平面PBC⊥平面ABC，
又平面PBC∩平面ABC=BC，PD?平面PBC，所以PD⊥平面ABC． 又l⊥平面ABC，所以l∥PD．
又l?平面PBC，PD?平面PBC，所以l∥平面PBC．
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点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD
（1）若AC=4，求直线CD的方程； （2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．
考点： 圆的一般方程；直线的一般式方程． 专题： 直线与圆．
分析： （1）根据条件确定C，D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方程； （2）根据AC=BD，根据待定系数法表示出C，D的坐标，利用圆的一般式方程，即可得到结论． 解答： 解：（1）若AC=4，则BD=4， ∵B（9，0），∴D（5，0）， ∵A（﹣3，4）， ∴|OA|=
直线OA的方程为y=
，则|OC|=1，
x，
设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0， 则|OC|=解得a=则C（
，
，），则CD的方程为
，
=5|a|=﹣5a=1，
整理得x+7y﹣5=0，
即直线CD的方程为x+7y﹣5=0；
（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点． 设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0， 则|AC|=
=
=5|a+1|=5（a+1），
则|BD|=|AC|=5（a+1），则D（4﹣5a，0），
设△OCD的外接圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0， ∵O（0，0），C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，D（4﹣5a，0），
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∴圆的方程满足，
即，
则，
解得E=10a﹣3，F=0，D=5a﹣4，
则圆的一般方程为x+y+（5a﹣4）x+（10a﹣3）y=0，
22
即x+y﹣4x﹣3y+5a（x+2y）=0， 由
，
2
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解得或，
即：△OCD的外接圆恒过定点（0，0）和（2，﹣1）．
点评： 本题主要考查直线方程的求解，以及圆的一般式方程的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km）． （1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km？并说明理由．
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考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax，把（2，4）代入，可得抛物线的方
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程为y=x．由于y'=2x，可得过P（t，t）的切线EF方程为y=2tx﹣t．可得E，F点的坐标，
，即可得出定义域．
（2）
，利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．
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解答： 解：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C
点坐标为（2，4）． 设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax，
2
把（2，4）代入，得4=a×2，解得a=1，
2
∴抛物线的方程为y=x． ∵y'=2x，
∴过P（t，t）的切线EF方程为y=2tx﹣t． 令y=0，得∴∴（2）
由S'（t）＞0，得∴S（t）在
， 上是增函数，在
．
上是减函数，
；令x=2，得F（2，4t﹣t），
，
，定义域为（0，2]．
，
2
2
2
2
∴S在（0，2]上有最大值又∵
，
∴不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km．
2
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