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可约多项式的乘积。所谓的唯一性就是说，如果有两个分解式
f(x)?p1(x)p2(x)...ps(x)?q1(x)q2(x)...qt(x)，那么必有s?t，并且适当排列因式的次序后有pi(x)?ciqi(x),i?1,2,...,s,其中c是一些非零常数。 （,2,...,s）ii?12.3二次多项式理论
对于一般的多项式通过一定的技巧和方法把一般多元二次多项式转化为二次齐次多项式，这时可利用二次型理论研究一般二次多项式可分解的判别法及其分解方法。
定理2 对于实系数的二元二次多项式
f(x,y)?ax2?2bxy?cy2?2dx?2ey?f(c?0) 则f(x,y)能分解的必要条件：??b2?ac?0.
证明：设 f(x,y)?(?1x??1y??1)(?2x??2y??2)
??1?2x2?(?1?2??1?2)xy??1?2y2?...??1?2 由待定系数法得：
a??1?2,2b??1?2??1?2,c??1?2 ?b2?ac?(
?1?2??1?22)2??1?2?1?2?(?1?2??1?22)2?0
abd 定理3 设??bce，若??0,则f(x,y)能分解的充要条件是??0.
def 证明 ：
f(x,y)?cy2?(2e?2bx)y?(ax2?2dx?f) 分解为两个一次因式之积
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?(2bx?2e)2?4c(ax2?2dx?f) 为完全平方式 ?(b2?ac)x2?2(be?dc)x?(e2?cf) 为完全平方式 ?(be?dc)2?(b2?ac)(e2?cf)?0 ???0
2.4 多元多项式理论
多元多项式是一元多项式的推广，是多项式理论研究的重要对象，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到．多元多项式的因式分解是代数学的一项基本内容，也是数学研究的重要内容之一，又是一个在数学科学中既重要又极为困难的问题，在许多情况下有些多元多项式是不能进行因式分解的，因此在这里选择特殊多项式来进行相关的研究。 2.4.1 特殊多项式的定义
我们这里所指的特殊多项式主要指对称多项式、交代多项式和轮换多项式，其概念与性质如下： （1)对称多项式
设f(x1,x2,x3,...,xi,...,xj,...,xn,)是n元多项式，如果对于任意的i,j,1?i?j?n都有f(x1,x2,x3,...,xi,...,xj,...,xn,)=f(x1,x2,x3,...,xj,...,xi,...,xn,)就称这个多项式是对称多项式，简称对称式。如f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz就是一个三元三次对称多项式。
（2）轮换多项式
设f(x1,x2,x3,...,xn)是n元多项式，如果将变数字母x1,x2,x3,...,xn, 按一定顺序轮换，例如以x2代x1,以x3代x2,...,以xn代xn?1,以x1代xn有
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f(x1,x2,x3,...,xn)=f(x2,x3,...,xn,x1)就称这个多项式是轮换多项式，简称轮换式。如x2y?y2z?z2x是一个轮换多项式。 （3）交代多项式
设f(x1,x2,x3,...,xn)是n元多项式，如果对于任意的i,j,1?i?j?n都有
f(x1,x2,x3,...x,i,...x,j,...x,n,)=?f(x1,x2,x3,...,xj,...,xi,...,xn)就称这个多项式是交代多项式，简称交代式。如f(a,b,c)?a(b?c)3?b(c?a)3?c(a?b)3是一个交代多项式。 2.4.2特殊多项式的性质
（1）凡对称式都是轮换式，反之不一定。
(2）变数字母相同的两个对称式的和、差、积、商（能整除的）仍是对称式。 (3)变数字母相同的两个轮换式的和、差、积、商（能整除的）仍是轮换式。 (4)变数字母相同的两个交代式的和、差仍是交代式，它们的积、商（能整除的）仍是对称式。
(5)变数字母相同的一个对称式与一个交代式的积、商（能整除的）则是交代式。
(6)多个变数字母的交代式，必有其中任意两个变数字母之差的因式。
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第 3章 因式分解的方法探讨
3.1应用公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式因式分解，这种方法叫做公式法。常用的乘法公式有如下几种： 平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b) 完全平方式：a2?2ab?b2?(a?b)2 立方和公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) 立方差公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) 完全立方公式：a3?3a2b?3ab2?b3?(a?b)3
例1 x4?2x2y2?y4 解 原式?(x2)2?2x2y2?(y2)2 ?(x2?y2)2
在应用公式法进行因式分解时，要注意公式的特点。一般说来，应先观察多项式的特征，主要看它的项数，次数，然后再尝试某种公式进行因式分解，并记住公式的结构特点和运用条件，确保因式中的系数和符号的正确性。
3.2分组分解法
分组分解是分解多项式的一种较复杂的方法。能分组的多项式往往有有四项或大于四项，一般的分组方法有两种：二二分组法、三一分组法。需要说明的是，运用分组分解法，要对多项式进行细致的观察，观察中还要有一定的预见性，能预见到下一步能否继续分解。其中分析多项式特点，进行恰当分组是分组分解法的关键。
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