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16.相似三角形（二）
知识考点：
本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用
精典例题：
【例1】如图，在△ABC中，AB＝14cm，求△ADE的面积和周长。
分析：由AB＝14cm，CD＝12cm得S?ABC＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，
AD5?，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，BD9S?AD?有?ADE???可求得S?ADE，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可S?ABC?AB?得△ADE的周长。
答案：△ADE的面积为
ADED2752
cm，周长为15 cm。 7APMPAEB例1图 CBMQFCBNC
例2图
变式1图
【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若S?ADE?1，S正方形DEFM?4，求S?ABC 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用S?ADE可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得S?ABC。 解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P
∵S?ADE?1，∴AP＝1
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
APDE12?，即? AQBC3BC ∴BC＝6，故S?ABC＝9
变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，
如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，求菱形AMNP的周长。
答案：35 cm
变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。
ACMADNDMEMS1RPS2TNPS3BGHFCAB变式2图 BC
例3图
问题一图
答案：
2448 cm， cm 77【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、S3，分别为4、9、49，求△ABC的面积。
解：设MP＝p，RT＝r，PN＝q，由于S1、S2、S3都相似于△ABC，设△ABC的面积为S，AB＝c，则有
2S?q3p7r?，?，三式相加得： ，
ccSSc2?3?7S?p?q?rc??1 cc∴S?12，故S?144
探索与创新：
【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，过BD上一点
P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝m∶n。
（1）计算PM、PN的长；
（2）当a∶b＝m∶n时，PM与PN有怎样的关系？
（3）在什么条件下才能得到MN＝
1(a?b)。 2略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC ∴
PMBMPNDNAM， ???DABABCDCAB 又∵AM∶MB＝m∶n，∴BM∶AB＝n∶(m?n) ∴AM∶AB＝m∶(m?n) ∴PM?nma，PN?b m?nm?nnma，PN?b （2）∵PM?m?nm?n ∴当na?mb，即a∶b＝m∶n时，才有PM＝PN；
na?mb1na?mb（3）∵MN＝PM＋PN＝，由(a?b)?可得：
m?n2m?n(a?b))(m?n)?0 从而a?b?0或m?n?0
故当a?b，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝
为梯形（或平行四边形）的中位线时，MN＝
1(a?b)或m?n且MN21(a?b)。 2【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为a、b(a?b)，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。
解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝x，△OAD的面积为S0，梯形ABCD的面积为2S，
∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD ∴
O2S?OEF?EF?S?Sx???2 ?，即0S?OAD?AD?S0aE2AaDFSx2整理得1??2………①
S0aBbCS0?2Sb2同理△OBC∽△OAD，?2，
S0a问题二图 2x2b2S2Sb2整理得1??2………②，由①②消去得：1?2?2
S0aaS0aa2?b2即x?，∵x?0，∴x?22a2?b2a2?b2，即EF＝ 22跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，S?AOD∶S?BOC＝ ，S?AOD∶S?AOB＝ 。
2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。
3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别是 。
AAOCDDFEGB
第1题图 B
第4题图 C
4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则S四边形GDEF∶S四边形FBCG＝ 。 二、选择题：
1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）
A、1∶2 B、1∶4 C、4∶9 D、2∶3
ADAGEBFCDOBE
第1题图
第2题图 C
S?DOE∶S?COB＝4∶9，2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，则AE∶EC为（ ）
A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4
3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD的长为（ ） A、1 B、
35 C、2 D、 22三、解答题：
1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长。
2、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝900，D、E分别为AB、AC上一点，且BD＝
11AB，AE＝AC，。求证：∠ADE＝∠EBC。 33AADAEFDBECDBCBEC第1题图
第2题图
第3题图
3、已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2。
4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2 cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、3∶5，9∶25，3∶5； 2、1∶2； 3、18 cm2，27 cm2； 4、8∶27； 二、选择题：
1．C ２．A ３．C 三、解答题：
1、
63； 11AEAD2?? HEHB2∴△DAE∽△BHE ∴∠ADE=∠EBC
2、证明：过E点作EH⊥BC于H，则∠A=∠EHB=900
3、S1?0.8，S2?2.2；
4、2秒或0.8秒，这样的三角形有两个。
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