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专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
2019年
1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB?BC= A．-3 C．2
B．-2 D．3
2.（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c?2a?5b，则
cos?a,c??___________.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?
31AB?AC 4431C．AB?AC
44A．13AB?AC 4413 D．AB?AC
44 B．
2．(2018北京)设a，b均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)?
A．4
B．3
C．2
D．0
4．（2017北京）设m, n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n?0”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
cos?m,n??5．（2016年山东）已知非零向量m,n满足4|m|?3|n|，
则实数t的值为
A．4 B．–4
C．
1．若n?(tm?n)，39 49 4 D．–
6．（2016年天津）已知ΔABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，
连接DE并延长到点F，使得DE?2EF，则AF?BC的值为
118
b=(3,?2)，且(a?b)?b，则m= 7．（2016年全国II）已知向量a?(1,m)，A．?
B．
C．
D．
A．?8
B．?6
C．6
D．8
5 81 81 48．（2016年全国III）已知向量BA?(,3113) ,BC?(,), 则?ABC=
2222A．30 B．45 C．60 D．120 9．(2015重庆)若非零向量a，b满足a?角为 A．
22b，且(a?b)?(3a?2b)，则a与b的夹33??? B． C． D．?
44210．（2015陕西）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是
A．|a?b|≤|a||b| B．|a?b|≤||a|?|b|| C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b
11．（2015安徽）?ΑΒC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足ΑΒ?2a，
2222ΑC?2a?b，则下列结论正确的是
A．b?1 B．a?b C．a?b?1 D．?4a?b??ΒC
12．（2014新课标1）设D,E,F分别为?ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB?FC?
A．AD B． 1AD C． 1BC D． BC
2213．（2014新课标2）设向量a,b满足|a+b|=10，|a?b|=6，则a?b?
A．1 B．2 C．3 D．5
14．(2014山东)已知向量a?(1,3),b?(3,m). 若向量a,b的夹角为
A．23
B．3 C．0
?，则实数m? 6 D．?3
15．（2014安徽）设a,b为非零向量，b?2a，两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由
2个a和2个b排列而成，若x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4所有可能取值中的最小值为4a，则a与b的夹角为 A．? B．
223?? C． D．0 3616．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量a??3,2?表示出来的是
A．e1C．e1?(0,0),e2?(1,2) B．e1?(?1,2),e2?(5,?2) ?(3,5),e2?(6,10) D．e1?(2,?3),e2?(?2,3)
17．（2014浙江）设?为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b?ta|是最小值
为1
A．若?确定，则|a|唯一确定 B．若?确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则?唯一确定 D．若|b|确定，则?唯一确定
18．（2014重庆）已知向量a?(k,3),b?(1,4),c?(2,1),且(2a?3b)?c，则实数k?
A．?915 B．0 C．3 D． 2219．（2013福建）在四边形ABCD中，AC?(1,2),BD?(?4,2)，则该四边形的面积为
A．5
B．25
C．5
D．10
20．（2013浙江）设?ABC，P0是边AB上一定点，满足PB0?一点P，恒有PB?PC≥P0B?PC0．则
1AB，且对于边AB上任4A．?ABC?900 B．?BAC?900 C．AB?AC D．AC?BC 21．（2013辽宁）已知点A(1,3)，B(4,?1)，则与向量AB同方向的单位向量为
A．?，-?3?54?3??4?43??34?，-?， B． C． D．?????，? ??5?5??5?55??55?22．（2013湖北）已知点A(?1,1)、B(1,2)、C(?2,?1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上
的投影为 A．32315 B． 22C．?32 2D．?315 223．（2013湖南）已知a,b是单位向量，a?b=0．若向量c满足c?a?b?1，则c的最
大值为
A．2?1 B．2 C．2?1 D．2?2
24．（2013重庆）在平面上，AB1?AB2，OB1?OB2?1,AP?AB1?AB2．若OP?则OA的取值范围是
1，2A．?0,???5?? B． 2??57???2,2? C． ???5??7? D．,2,2???? ?2?2????25．（2013广东）设a是已知的平面向量且a?0，关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a?b?c；
②给定向量b和c，总存在实数?和?，使a??b??c；
③给定单位向量b和正数?，总存在单位向量c和实数?，使a??b??c； ④给定正数?和?，总存在单位向量b和单位向量c，使a??b??c； 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1
B．2 C．3 D．4
26．（2012陕西）设向量a=（1,cos?）与b=（?1,2cos?）垂直，则cos2?等于
A．
21 B． C．0 D．－1 2227．（2012浙江）设a，b是两个非零向量
A．若|a?b|?|a|?|b|，则a?b B．若a?b，则|a?b|?|a|?|b|
C．若|a?b|?|a|?|b|，则存在实数?，使得b??a D．若存在实数?，使得b??a，则|a?b|?|a|?|b|
28．（2011广东）已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）．若?为实数， (a??b)∥c，
则?=
A．
1 4B．
1 2C．1 D．2
29．（2011辽宁）已知向量a?(2,1)，b?(?1,k)，a?(2a?b)?0，则k?
A．?12 B．?6 C．6 D．12
30．（2010辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB?b，则△OAB的面积
等于
A．|a|2|b|2?(a?b)2 B．|a|2|b|2?(a?b)2 C．11|a|2|b|2?(a?b)2 D．|a|2|b|2?(a?b)2 22”如下：对任意的a?(m,n)，b?(p,q)，
31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“
令ab?mq?np，下面说法错误的是
A．若a与b共线，则aB．ab?0
b?ba
b??(ab)
C．对任意的??R，有(?a)D．(a二、填空题
b)2?(a?b)2?|a|2|b|2
32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量a?(1,2)，b?(2,?2)，c?(1,?)．若c∥(2a?b)，
则?= ．
33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|?2，|b|?1，则|a?2b|= ． 34．(2017浙江)已知向量a,b满足|a|?1,|b|?2,则|a?b|?|a?b|的最小值是 ，
最大值是 ．
35．(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60，
则实数?的值是 ．
36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为?，且tan??7，OB与OC的夹角为45．若OC=mOA+nOB（m，n?R），则m?n= ．