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1定积分的概念
如图，阴影部分是由抛物线f(x)＝x，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．
问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 提示：曲边梯形．
问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？
提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． 问题3：你能求出近似值吗？
提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．
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求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S1或S2，即为曲边梯形面积S的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．
1．定积分的概念
给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝
x0 使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋ f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，就称A是函数y＝f(x)在区间 [a，b] ?上的定积分，记作??af(x)dx，即?af(x)dx＝A，其中∫叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数． 2．定积分的几何意义 (1)当f(x)≥0时，??af(x)dx表示的是x＝a与x＝b，y＝0和y＝f(x)所围成曲边梯形的面积． bbb (2)当f(x)(f(x)≥0)表示速度关于时间x的函数时，??af(x)dx表示的是运动物体从x＝a到x＝b时所经过的路程． 3．定积分的性质 (1)??a1dx＝b－a； bb?(2)??akf(x)dx＝k?af(x)dx； ??(3)??a[f(x)±g(x)]dx＝?af(x)dx±?ag(x)dx； ??(4)??af(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx. 1．由定义可得定积分?它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，?af(x)dx是一个常数， bbcbbbbbb??而与积分变量没有关系，即??af(x)dx＝?af(t)dt＝?af(u)du. 2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立． 3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程． 过剩估计值和不足估计值的应用 [例1] 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程． [思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决． [精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图： 2 bbb S＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72， s＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92， ∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间． [一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分 割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值． 1．把区间[0,1]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为( ) 1 A. nn2B. n3C. D. 1 2n1 解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n等分，所以每个小区间的长度为. n12 2．求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x所围成的曲边梯形的面积的估计值，并 2写出估计误差． 解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S. 22?s＝?×1＋×1.2＋×1?21?2 1212 22?S＝?×1.2＋×1.4＋× 1212 11222 1.4＋×1.6＋×1.8??×0.2＝1.02， 22? 11222 1.6＋×1.8＋×2??×0.2＝1.32， 22? 估计误差不会超过S－s＝1.32－1.02＝0.3. 利用定积分的几何意义求定积分 [例2] 用定积分的几何意义求下列各式的值： 2(1) ??－14－xdx； 1 5?2(2) ??2 (1＋sin x)dx. [思路点拨] 定积分??af(x)dx的几何意义是：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分的面积为正，x轴下方部分的面积为负． b [精解详析] (1) 由y＝4－x可知x＋y＝4(y≥0)，其图像如图． 2 2 2 ?4－x2dx等于圆心角为π的弓形CED的面积与矩形ABCD的面?－1 3 1 积之和． S弓形＝××22－×2×2sin＝S矩形＝AB·BC＝23， 1π2312π32π －3， 3 2π2π2∴?4－xdx＝23＋－3＝＋3. ?－1 33 1 (2)函数y＝1＋sin x的图像如图所示， 5?2??2 (1＋sin x)dx表示阴影部分的面积， 由图像的对称性可知： 5?2??2 (1＋sin x)dx＝S矩形ABCD＝2π. [一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式： 1 1 ?2 (1) ??0xdx________?0xdx； ?(2) ??0xdx________?1xdx. 1 2