loading第1讲计算综合（一）
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲循环小数与分数]．
711?4?26?27 1．计算：18135813?3?341671?7【分析与解】原式=46?2?1813?1232．计算：
2312?23?417 4812835．于是，我们想到改变运算顺序，9【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19如果分子与分母在195后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一9致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：
5919(?3?5.22)1993?0.41.6910原式=?(?)
5271995?0.5199519(?6?5.22)950519?1.321993?0.44?0.4?0.59=?(?)
519?1.321995?0.41995?0.591993?20.40.41?)=1?=1?(=1
19950.50.5413．计算：1?
11?11?1987198619871【分析与解】原式=1?=1?=
1987397339731?19864．计算：已知=
11+2+11x+14?8，则x等于多少? 11【分析与解】方法一：
11+2+11x+14?1?112?44x?1?18x?68??
4x?112x?7111?8x?6交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1?12?1x??145．求4,43,443,...,44...43这10个数的和．
9个413182113??2?；所以x??，那么x?1.25． ?1?，所以2?1342388x?4【分析与解】方法一：
=4?(44?1)?(444?1)?...?(44...4?1)
10个4=4?44?444?...?44...4?9=
10个44?(9?99?999?...?999...9)?9 910个9=
4?[(10?1)?(100?1)?(1000?1)?...?(1000...0?1)]?9 910个04?111.100?9=4938271591. 99个1=
方法二：先计算这10个数的个位数字和为3?9+4=31；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36?3?39； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32?3?35； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28?3?31； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24?3?27； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20?2?22； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16?2?18； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12?1?13； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为8?1?9；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．
6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少? 【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：
7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表
23155)?(0.4)33384示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算： 1235(0.3)?(2.25)3104(0.625【分析与解】原式
8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果
111???，那么方框内应填的数是多少? (16)(17)(17)【分析与解】
?(111(17)16?17?181?)???1=?1?. (16)(17)(17)(16)15?16?175111111?????中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 24681012111111111【分析与解】因为??，所以,,,的和为l，因此应去掉与.
6124246128109．从和式
10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.8是多少?
【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为
9.291892915．
11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】有
114111111??，??，?? 6101510156351410评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到
11c?a11c?a1，当a?c?b时，有． ?????a?bc?ba?b?ca?bc?ba?b?ca?c当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有2?c?b，显然b、c为一对孪生质数． 即可得出一般公式：
111??，c与c+2均为质数即可.
2?(c?2）c?(c?2)2?c12．计算：(1?【分析与解】 原式=
111）?（1?）?...?(1?) 2?23?310?10(2?1)?(2?1)(3?1)?(3?1)(10?1)?(10?1)??...?
2?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?11=
2?2?3?3?4?4?...?10?101?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?11
2?2?3?3?4?4?...?9?9?10?101?2?10?1111==. 2?2?10?102011?66?12?67?13?68?14?69?15?7013．已知a=?100.问a的整数部分是多少？
11?65?12?66?13?67?14?68?15?69=【分析与解】
11?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?（69?1）?100
11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15=（1?）?100
11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15=100??100.
11?65+12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?1511?12?13?14?15100因为 ?100＜?100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?656510035所以a＜100+?101.
656511?12?13?14?1511?12?13?14?15100同时 ?100＞?100?11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?696910031所以a＞100?＝101.
69693135综上有101＜a＜101．所以a的整数部分为101．
6965135799114．问????...?与相比，哪个更大，为什么?
2468100101357992468100【分析与解】方法一：令????...?＝A，????...?＝B，
2468100357910113579924681001有A?B＝????...?. ?????...?＝24681003579101101=
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
1111111＜）＝?，所以有A×A＜?，那么A＜． 101100101010101013579911即????...?与相比，更大． 2468100101013579799方法二：设A， ＝????...??24689810011335599992?则A＝??????...?
2244661001001?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?1=， 2?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?1001?33?55?797?9999112
显然、、、…、、都是小于1的，所以有A＜，于是A＜.
2?24?46?698?981001001015．下面是两个1989位整数相乘：111...11?111...11．问：乘积的各位数字之和是多少?
有A×A＜4×B（＝1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为111...11能被9整除，所以将一个111...11乘
1989个11989个1以9，另一个除以9，使原算式变成：