loading维普资讯 http://www.cqvip.com
第ｌ９卷第２期 邯郸职业技术学院学报 ２０Ｏ６年６月 矩阵方程的求解问题 郑丽 ０５６００１） （邯郸职业技术学院基础部，河北邯郸摘要：主要考察了矩阵方程的求解问题，给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种 求解方法。 关键词：矩阵；矩阵的逆；矩阵方程 中图分类号：０２４１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—５４６２（２０ｏ６）０２—００８９—０３ —．。。．．．．．．．．。．。．．．．Ｌ 矩阵是线性代数中的最重要的部分。它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数， 矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。矩阵方程是矩阵运算的一部分，这里我们主要讨论如何求解 矩阵方程的问题。掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。 简单的矩阵方程有三种基本形式： ＝Ｃ，ＸＡ＝Ｃ，ＡＸＢ＝Ｃ。如果这里的Ａ、 都是可逆方阵，则求 解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为： ：Ａ－１Ｃ， ＝ ～， ：Ａ－１ ～。 例如，求解方程ＡＣ＝Ｃ，先考察Ａ是否可逆。如果Ａ可逆时，方程两边同时左乘Ａ～，得Ａ Ａ ＝ Ａ—Ｃ，即Ｘ＝Ａ～Ｃ。这里要注意只能左乘不能右乘，因为矩阵的乘法不满足交换律。同样，对于方程 ＝２ ３ ４ ５ ｌ ３ １●，●●●●Ｊ ＝ —．。。．．．．．．．．。．。．．．．Ｌ ３ ．１ ２ Ｃ，只能右乘Ａ～，得ＸＡＡ～＝ＣＡ～，即 ： 看下面解矩阵方程例题： ～。而对于方程ＡＸＢ：Ｃ，只能是左乘Ａ 而右乘Ｂ一１， 得Ａ－１ＡＣＢＢ～：Ａ ＣＢ～，即 ：Ａ－１ ＣＢ～。 例ｒＩ ２ ３］ ｒＩ２ ５］ ｌ：ｌＬ －２ ２ ｌ ｌ ＝ｌ ３ ｌ ｌ Ｌ－４ ３ｊ ３ ４ ３ｊ… ｌ 一３ — —３ ｌ —２ ５ ，一３ ２ 则 ｌ —ｌ ｌ ３ ＝ 一 一３ ３ —２。 ５ — ｌ ｌ —１ 叫 ＝【 一Ｉ１ ２ Ｊ ３ ３ －ｆ ３ 一 一１ —２ ５ ，— 则 ｌ ｌ —ｌ 收稿日期：２０Ｏ６—０２—１７ 作者简介：郑丽（１９７４一），女，河北邱县人，邯郸职业技术学院基础部讲师。 ?８９? 维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｖ０１．１９ Ｎｏ．２ Ｊｏｕｍａｌ ｏｆＨａｎｄａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｃ０Ｕｅｇｅ Ｊｕｎ．２００６ ３ —２］ 一． ３ １２ ２ ４ 一 ＿； － —．１Ｊ 一 ＿＿＝＝＿－ ２ ３ ４ Ｉ—３ ２ ２ ４ ３ １●，ｌ ３ 一● ｒ●●●●●●Ｌ＝ ：５ ｌ ３ ３５一 ３ — ＝ ｒ●【２ ３ ４ ５ ｌ ３ １，●●●Ｊ ［一≥‘３ ］， 一ｌ＝ ５ 贝ｕ ¨ ５ ３ ＝ 广●●，●Ｌ ｌ ２ ＝ ３ ｒ’＿８ ５１ －Ｏ ｌ １ ３—．．２１ 一ｌ 一 。 ＝＝＝ 。＿．．。．．．．．．１Ｉ ３—．．＿一２ ．＿．．＿．一．＿２ ．．Ｊ ．。．。．．Ｌ ● ３ ． １ ３Ｊ ｌｒ３ｌ ５】 Ｏ ３ ６ ＿ ●—５—２ — ２ ． １ １●，●●●●●●●Ｊ—．．．．．．．．．。。．，．．．．．Ｌ ２ ３ ４ 例４：解矩阵方程 ＋Ｅ： ２＋ ，其中 ＝［÷兰 ，Ｅ是三阶单位方阵。 解：移项，将矩阵方程化为标准形式：（Ａ—Ｅ）Ｘ＝Ａ 一Ｅ＝（Ａ—Ｅ）（Ａ＋Ｅ），由于Ａ—Ｅ可逆，两 边同时左乘（Ａ—Ｅ）～，得 ２ ： ５ —Ｅ 一 —Ｅ ＋Ｅ ＝ ＋Ｅ＝一 一 １●●●，Ｊ 注：如果按 ：（ —Ｅ）一 （ 一Ｅ）计算，需要先求（ 一 ～，再求 一Ｅ，最后相乘，计算量大且 ｌ ７—２ ［季 易出错。因此应先尽量化简矩阵方程，再计算求解。 当矩阵方程 ：Ｃ， ：Ｃ，ＡＸＢ＝Ｃ中的 、 不是方阵或者是不可逆的方阵时，前面的方法就 不能用了。这时，我们需要用待定元素法来求解矩阵方程。设未知矩阵 的元素为 ，即Ｘ＝（ ），然后 由所给的矩阵方程列出 所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素 ，从而得到所求矩 阵Ｘ＝（ ）。 例５：解矩阵方程【 一０ ０］ ＝【 三】 解：利用元素法，先确定 的行数等于左边矩阵的行数３， 的列数等于积矩阵的列数２，则Ｘ是３× ２的矩阵。 设 ＝ ｍ ，匕 ０］Ｅ ），２Ｊ 且Ｉ］［…?Ｘ－Ｘ ２ ＾２ｙ＋ ｌ＝ ），一），ｌ １ 雕…慑 ９Ｏ? 维普资讯 http://www.cqvip.com
第ｌ９卷第２期 邯郸职业技术学院学报 ２ＯＯ６年６月 ）， ＝ 解得 ＝ ＝ ＝ Ｙ—－５ ４—－２ｙ ｙ ｌ ４ 一 一 一 一 ］，其中 ，，为任意实数。 ２ ５ 例６：解矩阵方程 所 以 ＝ —．．．．．．．．．．．．．．．．．Ｌｌ＝ｃ，其中Ａ＝［ －３３１ ｏ，ｃ＝［ ｉ］ 设 ＝［主 ］，则［ －３１ ］［主 ］＝［ 参 ］，且 一 ．２ 『Ｉ ４３ｘｚ ３一－ ＋Ｚｘｌ： 一２３ Ｘ２ ４３ｙ－＝－ ＋３ｙｌ］： 一２３ｙ２ ４３ｚ －＝－ ＋３ ｚｌ： ｌ２３ Ｚ２ ＝ｌ １ １¨１ ７］Ｉ＇， 比较第．．一 一列元素得｛Ｉ ４ 一３ｘｌ＋３ｘ２ ，解得ｉＬ ２：５２＝ 一ｘｌ一９ ￣．，．一Ｊ． ‘ ‘ ． ， ｆ ＝７—３ｘｌ （ ５５ 。３一ｙ］３，Ｚ．７－－３ｚ＂１。一７，所以可得 Ｚｌ７－３ｘ：一］ －３ｙ］一７ －。９，，。３５。一７ ］，其中Ｘｌ，Ｙｌ，Ｚｌ是任意实数。 总之，对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆 参考文献： ［１］赵树螈．线性代数［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，１９９７ ［２］李君文．线性代数理论与解题方法［Ｍ］．长沙：湖南大学出版社，２０Ｏ２ ［责任鳊校：尚慧文］ ?９ｌ ?