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解法二：
（Ⅱ）当x?[0,1]时，f(x)最大值不小于2，等价于
f(x)?ex?ax2?2在x?[0,1]上有解，显然x?0不是解,
ex?2即a?在x?(0,1]上有解， ……………………4分
x2g(x)?ex设?2x2，
x?(0,1],
则g?(x)?xex?2ex?4x3． 设h(x)?xex?2ex?4 ，x?(0,1]， 则h?(x)?ex(x?1)?0． 所以h(x)在(0,1]单调递减，
h(x)?h(1)?4?e?0， 所以g?(x)?0，所以g(x)在(0,1]单调递增， 所以g(x)max?g(1)?e?2． 依题意需a?e?2,
所以a的取值范围为(??,e?2]． 解法三:
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f?(x)?ex?2ax,
（1）当a?e2时，f'(x)?ex?2ax?ex?ex, 设h(x)?ex?exx?[0,1]，h?(x)?ex?e?0,
所以h(x)在[0,1]单调递减，故h(x)?h(1)?0． 所以
f?(x)?0，所以f(x)在[0,1]单调递增，
因此f(x)max?f(1)?e?a． 依题意，令e?a?2，得a?e?2． （2）当a?e2时，f(x)?ex?ax2?ex?e22x,
设?(x)?ex?ex22,x?[0,1], ……………………5分 …………7分
……………………9分
……………………10分
……………………12分
…………5分 …………7分
…………8分
则??(x)?ex?ex?h(x)?0,
所以?(x)在[0,1]单调递增， …………10分 故?(x)maxee??(1)?e???2，即f(x)?2，不符合题意． …………11分
22···········12分 综上所述，a的取值范围为(??,e?2]． ·
e2（III）当a?0时，y?f(x)有0个零点；当0?a?时，y?f(x)有1个零点
4e2e2当a?时，y?f(x)有2个零点；当a?时，y?f(x)有3个零点．· ············15分
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（21）（本小题14分）
解：（Ⅰ）
A?(0,0),B?(0,1)；
A?(0,1),B?(0,0)； …………1分 A?(1,0),B?(1,1)； …………2分 A?(1,1),B?(1,0). …………3分
（Ⅱ） 令A?(a1,a2,L,an),B?(b1,b2,L,bn),C?(c1,c2,L,cn)，
对i?1,2,L,n，
当ci?0时，有||ai?ci|?|bi?ci||?|ai?bi|； …………4分 当ci?1时，有||ai?ci|?|bi?ci||?|1?ai?(1?bi)|?|ai?bi|． …………5分 所以
d(A?C,B?C)?||a1?c1|?|b2?c2||+||a2?c2|?|b2?c2||+L+||an?cn|?|bn?cn|| ?|a1?b1|?|a2?b2|?L?|an?bn|?d(A,B)． …………6分
（Ⅲ）?A,B,C?Sn，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中一定有偶数. 理由如下：
解法一：
设A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn，
d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h，
记0?(0,0,???0)?Sn由（Ⅱ）可知: d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(0,B?A)?k，
d(A,C)?d(A?A,C?A)?d(0,C?A)?l，d(B,C)?d(B?A,C?A)?h. …………8分
所以bi?ai(i?1,2,???,n)中1的个数为k,ci?ai(i?1,2,???,n)中1的个数为l.
设t是使bi?ai?ci?ai?1成立的i的个数，则h?l?k?2t. …………10分 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，
即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中一定有偶数. 解法二：
因为(ai?bi)?(bi?ci)?(ci?ai)?0，
且(ai?bi)?(bi?ci)?(ci?ai)与|ai?bi|?|bi?ci|?|ci?ai|奇偶性相同. 所以|ai?bi|?|bi?ci|?|ci?ai|为偶数，
故d(A,B)?d(B,C)?d(A,C)为偶数， 所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数不可能都是奇数，
即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中一定有偶数. …………14分 …………8分 …………10分 …………14分