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1. 集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误：
（4）{a，b，c}?B； （1）{1}∈A ； （2）{c}∈B； （3） {1，{2}，4}?A；
（5）{2}?A； （6）{c}?B； （7）
??A； （8）??{{2}}?A；
（9）{?}?B； （10）?∈{{2}，3}.
解：（1）不正确。因为{1}是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。
（2）正确。虽然{c}是集合，但是它又是B中的元素。
（3）正确。虽然{1，{2}，4}是A的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。
（4）不正确。因为c?B。
（5）不正确。虽然{2}是一个集合，但是它只是A中的一个元素，不能有包含关系。 （6）不正确。理由同（5）。 （7）正确，符合定义。 （8）正确，都符合定义。
（9）不正确，因为B中本没有元素?。
（10）不正确。?不是{{2}，3}是中的元素，不能有属于关系，若写成??{{2}，3}则可以。
2．确定下列集合的幂集：
（1） A={a，{b}}； （2）B={1，{2，3}}；
（2） C={?，a，{b}}； （4）D=?(?)?{?}。
解 （1）因为A的所有子集为?，{a}，{{b}}，{a，{b}}，所以
?(A)?{?,{a},{{b}},{a,{b}}}.
（2）因为B的所有子集为?，{1}，{{2，3}}和{1，{2，3}}。所以
www.所以
?(B)?{?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
（3） 因为C的所有子集为?，{?}，{a},{{b}},{?,a},{?,{b}},{a,{b}},{?,a,{b}},
khdn
?(C)?{?,{?},{a},{{B}},{?,a},{?,{b}},{a,{b}},{?,a,{b}}}.
课aw.网后答案（4） 因为D的子集为?，{?}，所以?(D)?{?,{?}}.
说明 欲求一个给定集合的幂集合，首先把这个给定集合的所有子集列出，并检验所列子集的个数是否等于
2个,n为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤.
2. 判定以下论断哪些是恒成立的?哪些是恒不成立的?哪些是有时成立的?
com
(2)有时成立.若a∈A,但a?B,则a? A∩B;若a∈A,且a∈B,则a∈A∩B. (3)有时成立.若
a∈A∪B,可能有三种情形: a∈A
a?B,或者a?A但a?B,或者a?A且a?B,对于第一、三种情形，有a∈A，但是第二
种情形，a?A.。
（4）恒成立。因为a∈A∩B，必有a∈A，且a∈B。
（3）～A∪（B－C）；（4）?(A)??(B).
解 （1）A∩～B={a，d}∩{c，d}={d}.
(2) （A∩B）∪～C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}. (3) ～A∪（B－C）={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.
(4)
www.故
5. 设A和B是全集E的子集,利用运算律证明:
(1) (A∩B) ∪(A∩～B)=A; (2) B∪～((～A∪B) ∩A)=E. 证 (1) (A∩B) ∪(A∩～B)=A∩(B∪～B)=A∩E=A (3) B∪～((～A∪B) ∩A)
=B∪～((～A ∩A) ∪(B∩A) (分配律)
=B∪～(?∪(B∩A)) (互补律)
khd?(A)={?,{a},{d},{a,d}}. ?(A)??(B).={?,{a}}.
成立；若A?B，则A∩B=B就不成立。
4．设全集合E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求下列集合： （1） A∩～B； （2）（A∩B）∪～C；
?(B)={?,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}
课后（6） 恒不成立。因为a?A.，即使a∈B，也有a? A∩B，若a?B，更有a? A
∩B。
（7） 恒成立。当A?B，A是B的子集，当然满足A∩B=A。
（8） 有时成立。既然A?B，就有两种可能：A=B或者A?B。若A=B，则A∩B=B
答案网（5） 有时成立。虽然a?A.，但是，有a∈B或a?B两种可能，若a?B，则a? A
∪B；若a∈B，有a∈A∪B。
aw.com但
(1) 若a∈A,则a∈A∪B; (2) 若a∈A,,则a∈A∩B; (3) 若a∈A∪B,则a∈A; (4) 若a∈A∩B,则a∈B; (5) 若a?A,则a∈A∪B; (6) 若a?A,则a∈A∩B; (7) 若A?B,则A∩B=A; (8) 若A?B,则A∩B=B.
解 (1)恒成立.因为A? A∪B,若a∈A,则a∈A∪B.
www. =?∪(～A∩B)
=B∪～(B∩A) (同一律)
=B∪(～B∪～A) (德·摩根律) =(B∪～B)∪～A (结合律) =E∪～A (互补律) =E.
说明 利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写. 6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:
(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);
(2) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C). 证(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)
A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C) =((
=((A∩C)∪B)∩(A∪C)
=((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C)) =(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C) =(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C) =(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)
(3) (A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C)
=(A∩B)∪(((～A∩B) ∪(A∩～B)) ∩C)
=(A∩B)∪(((～A∪A)∩(～A∪～B)∩(B∪A)∩(B∪～B))∩C) =(A∩B)∪((～(A∩B)∩(A∪B)∩C)
=((A∩B)∪(～(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C) =((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C)) =(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C).
7. 利用A－B=A∩～B与吸收律及其它运算律,证明
(((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)=～A∩B 证 (((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A) =((A∪B)∩((A∪B)∪C))－((A∪(B－C))∩A) =(A∪B)－((A∪B)∩(A∪～C)∩A) =(A∪B)－(A∩(A∪B)∩(A∪～C) =(A∪B)－(A∩(A∪～C)) =(A∪B)－A =(A∪B)∩～A
=(A∩～A)∪(B∩～A)
=～A∩B.
说明 本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律，才使运算简便，否则将很繁杂。
8．设A，B，C为三个任意集合，试证明 （1） 若A×A=B×B，则A=B； （2） 若A×B=A×C，且A≠?,则B=C.
证 (1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此A?B.
khd课aw.网后答案com 对任意b∈B,有(b,b)∈B×B,则(b,b)∈A×A,于是b∈A,因此B?A,所以A=B.
(2) 若B=?,则A×B=?,因为A×B==A×C,于是A×C=?,而A=?,只有C=?,故B=C.
若B≠?,设任意b∈B,因为A≠?,再设a∈A,则(a,b) ∈A×B,又因为A×B==A×C,则(a,b)∈A×C,于是b∈C,所以B?C.
同理可证C?B,故B=C.
说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.
8. 在具有x和y轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x︱x∈R,且-3≤x≤2},Y={y︱y∈R,且-2≤y
≤0},试求出笛卡尔积X×Y,Y×X,画出其图像. 解 X×Y={(x,y)︱-3≤x≤2, -2≤y≤0,x,y∈R}
Y×X={(y,x)︱-2≤y≤0, -3≤x≤2, x,y∈R} X×Y与Y×X的图像如图1-1所示的阴影部分.
说明 对于笛卡尔积Y×X的图像,从(y,x)∈Y×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x.
后2 -3 -2 11 2 3 khd-
图 1—1
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