loading学业分层测评(二) 充分条件和必要条件
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学业达标]
一、填空题
π1
1.“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的________条件.
62π11
【解析】 “α＝＋2kπ(k∈Z)”?“cos 2α＝”，“cos 2α＝”
622
π
“α＝＋
6
ππ
2kπ”(k∈Z).因为α还可以等于2kπ－(k∈Z)，∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
661
2α＝”的充分而不必要条件.
2
【答案】 充分而不必要
2.(2016·聊城高二检测)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件.
【解析】 当a>0且b>0时， a＋b>0且ab>0；当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0， ∴a>0且b>0.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充分必要条件. 【答案】 充分必要
3.“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的________条件.
【解析】 由ln(x＋1)<0得x＋1>0，即x>－1，又ln(x＋1)<0，所以－1 【答案】 必要而不充分 4.对任意的a，b，c∈R，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a>b”的充要条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是________. 【导学号：24830007】 【解析】 命题②、④是真命题. 【答案】 2 5.(2016·徐州高二检测)已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是________. 【解析】 ∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A因此实数a的取值的集合是{ a|a＜5 }. 1 2 2 B，∴a＜5. 【答案】 { a|a＜5 } 6.给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件. 【解析】 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”. 【答案】 充要 7.不等式ax＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________. 【解析】 ①当a＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ??a>0②当a≠0时，用数形结合的方法则有?2 ??Δ＝a－4a2 a＋3<0 ?a>0.∴由①②得 a≥0. 【答案】 a≥0 8.(2016·宿州高二检测)α，β是两个不重合的平面，在下列条件中： ①α，β都平行于直线l，m； ②α内有三个不共线的点到β的距离相等； ③l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β； ④l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β “α∥β”的充分条件是________. 【解析】 ①、③中l与m可能平行，②中三点位于两平面交线的两侧时，如图. AB∥l，α∩β＝l，A与C到l的距离相等时，A，B，C到β的距离相等. 【答案】 ④ 二、解答题 9.指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)对于函数y＝f(x)，x∈R， p: y＝|f(x)|的图象关于y轴对称；q：y＝f(x)是奇函数. (2)p：x＋y≠3；q：x≠1或y≠2. 【解】 (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y 2 轴对称时，未必推出y＝f(x)为奇函数，故y＝|f(x)|的图象关于y轴对称是y＝f(x)是奇函数的必要不充分条件. (2)原命题等价其逆否形式，即判断“x＝1且y＝2是x＋y＝3的必要不充分条件”，故x＋y≠3是x≠1或y≠2的充分不必要条件. 10.已知p：－2≤x≤10；q：x－2x＋1≤m(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解】 由q可得(x－1)≤m(m＞0)， 所以1－m≤x≤1＋m. 即綈p：x＞10或x＜－2，綈q：x＞1＋m或x＜1－m. 因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以綈q?綈p. ?1＋m≥10? 故只需要满足? ??1－m≤－2 2 22 2 ，∴m≥9. 所以实数m的取值范围为9，＋∞). 能力提升] 1.下列命题： ①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等； →→ ②△ABC中，AB·BC<0是△ABC为钝角三角形的充要条件； ③2b＝a＋c是数列a，b，c为等差数列的充要条件； ④△ABC中，tan Atan B>1是△ABC为锐角三角形的充要条件. 其中的真命题有________. 【导学号：24830008】 →→ 【解析】 两直线平行不一定有斜率，①假.由AB·BC<0只能说明∠ABC为锐角，当△ ABC为钝角三角形时，AB·BC的符号也不能确定，因为A，B，C哪一个为钝角未告诉，∴② 假；③显然为真.由tan Atan B>1，知A，B为锐角，∴sin Asin B>cos Acos B， ∴cos(A＋B)<0，即cos C>0.∴角C为锐角， ∴△ABC为锐角三角形. π 反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，∴cos(A＋B)<0，∴cos Acos B 2∵cos A>0，cos B>0，∴tan Atan B>1，故④真. 【答案】 ③④ 2.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件. 【解析】 因为甲是乙的充分而不必要条件，所以甲?乙，但乙充要条件，即乙?丙；又∵丙是丁的必要不充分条件，即丁?丙，但丙 →→ 甲；又∵乙是丙的丁，故丁 甲， 3 甲乙，即丁是甲的既不充分又不必要条件. 【答案】 既不充分又不必要 3.(2016·无锡高二检测)已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x－3x＋1>0，则使p是q2 的充分不必要条件的最小正整数a＝________. 【解析】 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或 x>1＋a. 12 由条件q：2x－3x＋1>0，得x<，或x>1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p， 21??1－a≤，2则q”为真命题，逆命题为假命题，应有? ??1＋a≥1， 令a＝1，则p：x<0，或x>2， 1 此时必有x<，或x>1.即p?q，反之不成立. 2【答案】 1 4.求关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件. 1 【解】 ①当a＝0时，原方程化为2x＋1＝0，此时根为x＝－，满足条件. 2②设f(x)＝ax＋2x＋1，当a≠0时，因为方程的常数项为1不为0，方程没有零根. 1 (i)若方程有两异号的实根，x1，x2，则x1x2＝<0，即a<0； 2 2 1 解得a≥. 2 a??2(ii)若方程有两个负的实根x，x，则需满足?x＋x＝－＜0， a??Δ≥0， x1x2＝＞0， a1 2 1 2 1 a??即?2 －＜0，a??Δ＝4－4a≥0， 1 ＞0， 2 解得0＜a≤1. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤1. 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根. 因此，关于x的方程ax＋2x＋1＝0，至少有一个负的实根的充要条件是a≤1. 4