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2020年西华师范大学综合数学考研复试核心题库之概率论与数理统计证明题精编
主编：掌心博阅电子书第 1 页，共 33 页
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一、2020年西华师范大学综合数学考研复试核心题库之概率论与数理统计证明题精编
1． 设总体
【答案】因为独立且
2． 对于任意二事件A和B,0 称作事件A和事件B的相关系数. (1)证明事件A和事件B独立的充分必要条件是其相关系数等于零. (2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明【答案】(1)由的定义，知 而后者恰好是二事件A和B独立的定义，故(2)考虑随机变量X和Y： 则X和Y都服从0-1分布： 易见 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=P(AB)-P(A)P(B) 因此，事件A和事件B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数，于是由两随机变量相关系数的基本性质.有 . 是A和B独立的充分必要条件. . ，所以 是一个样本， 分别为样本均值和样本方差，试证 )。 ，且与 独立，则 与也相互 (提示:注意到与相互独立，且有 第 3 页，共 33 页 3． 设 www.handebook.com 是来自正态总体X的简单随机样本， ，证明统计量Z服从自由度 为2的t分布. 【答案】由抽样定理，恰为由于 ，故 ，故 由于方差， 与 与 相互独立，于是 独立，故与 与 独立.而 与 相互独立，且 ， 故即有 ， . 存在，证明 这一不等式称为柯西—施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式. 【答案】设任意实数t，定义 的取值非负，由数学期望的性质恒有 即 故 5． 设A,B为随机事件，P(B)>0,证明: 【答案】右边 6． 设随机变量X服从指数分布，即X的密度函数为P(X>s+t|X>s)=P(X>t). 【答案】 ’证明:对于任意的s>0，t>0,有 左 。 青岛掌ю心博阅电┢子书 . 分别为 的样本均值与样本 的样本方差，故青岛掌р心博阅电子书 且相互独立，注意到 4． 对于两个随机变量V，W，若 q(t)是t的二次函数，且对任意实数t随机变量故必有 0. 第 4 页，共 33 页 www.handebook.com 7． 产品的某种性能指标的测量值X是随机变量，设X的概率密度为 测量误差 相互独立。求Z=X+Y的概率密度 ，并验证 【答案】(1)Y的概率密度为 故Z=X+Y的概率密度为 仅当 即 时上述积分的被积函数不等于零(如下图)得 图 (2) 8． 设从均值为，方差为值。试证:对于任意常数 【答案】 的总体中，分别抽取容量为青岛掌щ心博?阅电子书 即由于所以 由拉格朗日乘数法求极值。 设由 第 5 页，共 33 页 的两独立样本,和分别是两样本的均 都是的无偏估计，并确定常数使D(Y)达到最小。 是的无偏估计 ，且 与 相互独立