loading推导证明类１５道
类型１力学推导题
１．牛顿第三定律告诉我们：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上．如图甲，一重为Ｇ的物体静止在水平地面，用一细线竖直向上拉物体，拉力的大小为Ｆ．
第１题图
（１）若Ｆ＜Ｇ，请证明物体对地面的压力ＦＧ压＝－Ｆ；
（２）若Ｇ＝３０Ｎ，将细线竖直系在质量不计的杠Ｏ为杠杆的支点，已知ＡＯ＝２ＢＯ，要使杆Ａ端，
地面对物体的支持力为零，应在Ｂ端竖直向下施加多大的力？（杠杆始终保持水平）
解：（１）甲图中，物体受到三个力的作用：竖直向上的支持力Ｆ支和拉力Ｆ，竖直向下的重力Ｇ，因物体保持静止，故有：Ｆ＋Ｆ支＝Ｇ
故有ＦＧ－Ｆ支＝
又根据力的作用是相互的，ＦＦＧ－Ｆ压＝支＝（２）当支持力Ｆ０时，绳的拉力Ｆ＝Ｇ支＝
由力的作用是相互的，物体拉绳子的力为Ｇ，则作用在杠杆Ａ端，根据杠杆的平衡条件：Ｆ·ＡＯ＝Ｆ′·ＢＯ的力大小为Ｇ
ＡＯ应在Ｂ端竖直向下施加的力：Ｆ′＝×Ｇ＝２×３０Ｎ＝６０Ｎ
ＢＯ
２．轻小的物体从高空下落的过程中先加速运动一段时间，之后以某一速度ｖ做匀速运动（ｖ叫作收尾速度），以该速度运动时受到的阻力ｆ＝ｋｖ．若一半径为ｒ的雨滴从高空下落，下落过程中４３
雨滴可近似看作球体．已知球的体积Ｖ＝πｒ，
３水的密度为ρ，重力加速度为ｇ．请推导出雨滴
３４ｒｇπρ＝．下落的收尾速度ｖ
３ｋ
证明：由题知，雨滴以收尾速度运动时做匀速运动，阻力等于重＝Ｇ，雨滴的重力Ｇ＝ｍｇ力，即ｆ
４３
雨滴的质量ｍ＝Ｖ＝πｒ，所受阻力为ｆ＝ｋｖρρ
３
４３
ｒｇπρ３
ｆＧｍｇ３４ｒｇπρ
则雨滴下落的收尾速度为ｖ＝＝＝＝＝ｋｋｋｋ３ｋ
３．如图甲为研究匀速直线运动的实验装置，一个小球由于磁铁的吸引静止在盛水的玻璃管底，水深１ｍ．移除磁铁后，球在玻璃管中上升，如图
乙为球在露出水面前运动速度与时间的关系图
３３
像（水的密度为１．０×１０ｋｇ／ｍ，ｇ取
１０Ｎ／ｋｇ）．求：
第３题图
（１）移除磁铁前，玻璃管底受到水的压强；（２）已知球上升时受到水的阻力与其速度的关系为ｆ＝ｋｖ，球的体积、水的密度分别用Ｖ、表示，
．请推导球的密度表达式（用字母表示）
解：（１）移除磁铁前，玻璃管底受到水的压强：
３３４
ｐ＝ｇｈ＝１．０×１０ｋｇ／ｍ×１０Ｎ／ｋｇ×１ｍ＝１×１０Ｐａρ
（２）由图像乙可知，球在４～２１ｓ内匀速上升，受力平衡所以有Ｇ＋ｆ＝Ｆ浮
ｍ根据ρ＝、Ｇ＝ｍｇ，可得球的重力：Ｇ＝Ｖｇρ
Ｖ又知ｆ＝ｋｖ，ＦｇＶρ０浮＝０则ρＶｇ＋ｋｖｇＶρ０＝０
ｇＶ－ｋｖｋｖρ０００球的密度ρ＝＝－ρ０
ＶｇＶｇ
４．小孟学习了压强知识后，猜想规则、质量分布均
匀的物体的压强公式ｐ＝ｇｈ．请回答下列问题：ρ
（１）以一个实心圆柱体竖立在水平桌面上为例，请推导该圆柱体对桌面的压强ｐ＝ρｇｈ，已知圆柱体的密度为ρ，高度为ｈ；（２）一个实心圆柱体高４ｍ，竖直放在水平地面上，若它对地面的压强为１０００Ｐａ，则该圆柱体的密度为多少？（ｇ取１０Ｎ／ｋｇ）
（１）证明：设圆柱体的底面积为Ｓ，则圆柱体的体积Ｖ＝Ｓｈ，圆柱体的质量ｍ＝Ｖ＝Ｓｈρρ
圆柱体对水平桌面的压力Ｆ＝Ｇ＝ｍｇ＝ＳｈｇρＦＧρＳｇｈ圆柱体对水平桌面的压强ｐ＝＝＝＝ｇｈρ
ＳＳＳ
（２）解：因为是实心圆柱体，根据ｐ＝ρｇｈ得，圆柱体的密度为ρｐ１０００Ｐａ３
＝＝＝１０ｋｇ／ｍｇｈ１０Ｎ／ｋｇ×１０ｍ
５．在研究液面下深度为ｈ处的液体压强时，可以设想这里有一个水平放置的“平面”，这个平面以上的液柱对平面的压力等于液柱所受的重力．如图所示，设“平面”的面积为Ｓ，液体的密度为ρ，用压强公式就能求出该处的压强．求：
第５题图
（１）试推导证明液体内的液柱对液柱底面所产生的压强与深度成正比；
（２）如图乙，在一个密闭薄容器中装满体积为
３１ｄｍ的水后放在水平桌面上，已知容器的质量２为１００ｇ，容器的下底面积为１００ｃｍ，高为
１２ｃｍ，ｇ取１０Ｎ／ｋｇ，求：水对容器底部的压力
３３和压强（１．０×１０ｋｇ／ｍ）ρ水＝
解：（１）设液柱的重力为Ｇ，液柱对底面所产生的压力为Ｆ，液体液柱对底面所产生的压强为ｐ，则密度为ρ液，Ｆ＝Ｇ＝ｍｇ＝ｇ Ｖ＝Ｓｈρ液Ｖ所以Ｆ＝ｈｇρ液ＳＳｇＦρ液ｈｐ＝＝＝ｇρ液ｈＳＳ
所以液柱对液柱底面所产生的压强与深度成正比（２）由题（１）结论可求出容器中水对容器底部的压强
３３
ｐｇｈ＝１×１０ｋｇ／ｍ×１０Ｎ／ｋｇ×０．１２ｍ水对容器底的压强：ρ１＝３
＝１．２×１０Ｐａ
３－４２水对容器底的压力：ＦｐＳ＝１．２×１０Ｐａ×１００×１０ｍ＝１＝１
１２Ｎ
类型２光学推导题
６．做凸透镜成像规律实验时，凸透镜置于物屏之间，物体和屏的相对距离Ｌ（Ｌ大于四倍焦距）不变，移动凸透镜能在屏上得到两次清晰实像．凸透镜的成像规律可以通过画光路图来理解，图