loading一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式a2的意义
2x?1，x2?2xy?y2，a2等2a2?a???a,a?0,
??a,a?0.例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)．
．
例2 计算：3?(3?3)．
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例3 试比较下列各组数的大小：
（1）12?11和11?10； （2）
例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．
例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?
例 6 已知x?
练 习 1．填空： （1）2和22－6. 6?41?2(0?x?1)． x2 ．
3?23?2，求3x2?5xy?3y2的值 ． ,y?3?23?21?3＝__ ___；
1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；
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（3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?2．选择题：
x?1?x?1x?1?x?15，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?1xx成立的条件是 （ ） ?x?2x?2（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2
等式a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．
a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如
AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAA?M； ?BB?MAA?M?． BB?M 上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值．
x(x?2)xx?2
111??例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1111??? （2）计算：； 1?22?39?101111????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
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． 例3 设e?ca，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n，111n(n?2)? (n?n?2)；
2．选择题：
若2x?yx?y?23，则xy＝ （A）１ （B）54 （C）465 （D）53．正数x,y满足x2?y2?2xy，求x?yx?y的值．
4．计算1111?2?2?3?3?4?...?199?100．
习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1) x?1?3； (2) x?3?x?2?7 ； (3) x?1?x?1?6．
12
） （